Bài 103 trang 22 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 103 trang 22 sách bài tập toán 9. Chứng minh x - căn x +1 =...+ 3/4... Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Đề bài

Chứng minh:

\(x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) với \(x > 0\)

Từ đó, cho biết biểu thức \(\dfrac{1}{{x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi \(x\) bằng bao nhiêu?  

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

Sau đó biện luận để tìm giá trị lớn nhất. 

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\)\( = x -2.\dfrac{1}{2}. \sqrt x  + {\dfrac{1}{4}} + {\dfrac{3}{4}} \)\(= x - \sqrt x  + 1\) 

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}} = {\dfrac{1}{{{\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)}^2} + {\dfrac{3}{4}}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)  nhỏ nhất.

Vì \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}} \ge \dfrac{3}{4}\)

Suy ra \({\left( {\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}}} \right)^2} + {\dfrac{3}{4}}\) nhỏ nhất bằng \({\dfrac{3}{4}}\) khi và chỉ khi \(\sqrt x  - {\dfrac{1}{2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = {\dfrac{1}{2}} \)\(\Leftrightarrow x = {\dfrac{1}{4}}\) (thỏa mãn \(x>0\))

Khi đó: \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}} = \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}}} =\ {\dfrac{4 }{3}}\)

Vậy \({\dfrac{1}{x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \(\dfrac{4 }{3}\) khi \(x = {\dfrac{1 }{4}}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 8 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài