Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Câu hỏi trắc nghiệm chương 2: Tích vô hướng của hai véc..

Đề II trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10


Chứng minh rằng

Câu 1. (6 điểm)

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)

b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

\(\eqalign{
& = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}\)

\(=  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {IB} \)

\( =  > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)

c) Ta có: 

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)

\(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Câu 2. ( 4 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.

Gợi ý làm bài

*Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC}  = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB}  = (2;1)\)

Vì ABCD là hình vuông  

=> \(\left\{ \matrix{
AB \bot BC \hfill \cr
AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 2 \hfill \cr
{x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
{y_C} = - 2 \hfill \cr
{x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)

*Gọi \(D({x_D};{y_D})\)

Với C(2;2)

=>  \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr
{y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)

Với C(4;-2)

=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr
{y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).

Sachbaitap.net


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store