-
ĐẠI SỐ SBT - TOÁN 10
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 10
-
Chương 1: Véc tơ
-
Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
- Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ
- Bài 2: Tích vô hướng của hai vec tơ
- Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
- Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
- Ôn tập chương 2: Đề toán tổng hợp
- Câu hỏi trắc nghiệm chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
-
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
-
Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản
Câu hỏi trắc nghiệm chương 2: Tích vô hướng của hai véc..
Đề II trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
Chứng minh rằng
Câu 1. (6 điểm)
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.
a) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)
b) Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) với I là trung điểm của BC;
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)
\(\eqalign{
& = > B{C^2} = {\overrightarrow {BC} ^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}} \over 2}\)
\(= > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over 2}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} \) và \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {IB} \)
\( = > \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = A{I^2} - I{B^2} = A{I^2} - {{B{C^2}} \over 4}\) (I là trung điểm của BC)
c) Ta có:
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (M{A^2} - G{A^2}) + (M{B^2} - G{B^2}) + (M{C^2} - G{C^2}) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {GA)} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} ) + (\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {GB} )(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} ) + (\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {GC} )(\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {GC} ) = 3M{G^2}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{[}}(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} ) + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ){\rm{]}} = 3M{G^2}\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} (3\overrightarrow {MG} + \overrightarrow 0 ) = 3M{G^2}\)
\(\Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MG} ^2} = 3M{G^2}\) (đúng)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Câu 2. ( 4 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;-1) và B(3;0) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
Gợi ý làm bài
*Gọi \(C({x_C};{y_C})\), ta có: \(\overrightarrow {BC} = ({x_C} - 3;{y_C});\overrightarrow {AB} = (2;1)\)
Vì ABCD là hình vuông
=> \(\left\{ \matrix{
AB \bot BC \hfill \cr
AB = BC \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
2{x_C} - 6 + {y_C} = 0 \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + y_C^2 = 5 \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 6 - 2{x_C} \hfill \cr
{({x_C} - 3)^2} + 36 - 24{x_C} + 4x_C^2 = 5 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
{y_C} = 2 \hfill \cr
{x_C} = 2 \hfill \cr} \right. \vee \left\{ \matrix{
{y_C} = - 2 \hfill \cr
{x_C} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
*Gọi \(D({x_D};{y_D})\)
Với C(2;2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 2 = - 2 \hfill \cr
{y_D} - 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = 1 \hfill \cr} \right.\)
Với C(4;-2)
=> \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} - 4 = - 2 \hfill \cr
{y_D} + 2 = - 1 \hfill \cr} \right. = > \left\{ \matrix{
{x_D} = 2 \hfill \cr
{y_D} = - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy C(2; 2), D(0; 1) hay C(4; -2), D(2;-3).
Sachbaitap.net
Bình luận
Chia sẻ
- Đề III trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10
- Bài 2.68 trang 106 SBT hình học 10
- Bài 2.69 trang 106 SBT hình học 10
- Bài 2.70 trang 106 SBT hình học 10
- Bài 2.71 trang 106 SBT hình học 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
