Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 7, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 7 Luyện tập - Chủ đề 6 : Các đường đồng quy của tam giác

Bài tập 37 trang 125 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2


Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AM là trung tuyến. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc cuả B và C xuống đường thẳng AD.

a) Chứng minh tam giác AKC bằng tam giác BHA.

b) Gọi I là giao điểm của Am với CK. Chứng minh đường thẳng DI vuông góc với AC.

c) Chứng minh KM là tia phân giác góc HKI.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(\widehat {BAH} + \widehat {DAC} = 90^\circ (\widehat {BAC} = 90^\circ )\)

\(\widehat {ACK} + \widehat {DAC} = 90^\circ\) (∆AKC vuông tại K)

Do đó \(\widehat {BAH} = \widehat {ACK}\)

Xét ∆AKC (\(\widehat {AKC} = 90^\circ\)) và ∆BHA (\)\widehat {BHA} = 90^\circ\)) có:

AC = AB (∆ABC vuông cân ở A)

Và \(\widehat {ACK} = \widehat {BAH}\)

Do đó: ∆AKC = ∆BHA (cạnh huyền – góc nhọn).

b) ∆ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến (gt).

=> AM là đường cao của tam giác ABC. Vậy \(AM \bot BC\) tại M.

∆AIC có: AK là đường cao (\(AK \bot CI\) tại K)

CM là đường cao (\(CM \bot AI\) tại M)

AK cắt CM tại D (gt)

Do đó D là trực tâm của ∆AIC => ID là đường cao của ∆AIC. Vậy \(DI \bot AC.\)

c) ∆AMC vuông tại M (\(AM \bot BC\) tại M) có \(\widehat {ACM} = 45^\circ\) (∆ABC vuông cân tại A)

=> ∆AMC vuông cân tại M => AM = CM

Xét ∆AMH và ∆CMK có AM = CM

\(\widehat {MAH} = \widehat {MCK}\) (cùng phụ với góc AIK)

AH = CK (∆AKC = ∆BHA)

Do đó ∆AMH = ∆CMK (c.g.c) => MH = MK, \(\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\)

Ta có \(\widehat {HMK} = \widehat {HMC} + \widehat {CMK} = \widehat {HMC} + \widehat {AMH} = \widehat {AMC} = 90^\circ\)

∆MHK vuông tại M có MH = MK.

=> ∆MHK vuông cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MHK} = 45^\circ\). Mà\(\widehat {MKH} + \widehat {MKI} = \widehat {AKI} = 90^\circ\)

Nên \(\widehat {MKI} = 90^\circ  - \widehat {MKH} = 90^\circ  - 45^\circ  = 45^\circ\)

Ta có \(\widehat {MKI} = \widehat {MKH}( = 45^\circ )\).Vậy KM là tia phân giác góc HKI.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.8 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store