
Đề bài
Hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O.\) Gọi \(M, K, N, H\) lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) xuống các cạnh \(AB, BC, CD, DA.\) Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}\)
b) \(\displaystyle {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(OM ⊥ AB\) và \(ON ⊥ CD\), mà \(AB // CD\) nên suy ra \(M, O, N\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta OCN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\) (1)
Xét \(\Delta ODN\) có \(AB // CD\), theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\) (2)
Từ (1) và (2) và theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\displaystyle {{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} \)\(\,\displaystyle = {{AB} \over {CD}}\)
b) Từ \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB\) và \(CD \) cắt \(AD\) tại \(E\), cắt \(BC\) tại \(F.\)
Xét \(\Delta DAB\) có \(OE // AB\) (cách dựng)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle {{OE} \over {AB}} = {{DO} \over {DB}}\) (*)
Xét \(\Delta CAB\) có \(OF // AB\) (cách dựng)
Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:
\( \displaystyle {{OF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\) (2*)
Xét \(\Delta BCD\) có \(OF // CD\) (gt)
Theo định lí Ta-lét ta có:
\(\displaystyle{{DO} \over {DB}} = {{CF} \over {CB}}\) (3*)
Từ (*), (2*) và (3*) suy ra: \(\displaystyle{{OE} \over {AB}} = {{OF} \over {AB}}\)
Vậy \( OE = OF.\)
Từ đó, ta có:
\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (3) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);
\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (4) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau)
Từ (3) và (4) suy ra: \({S_{AEO}}+{S_{DEO}} = {S_{BFO}}+{S_{CFO}}\)
\( \Rightarrow {S_{OAD}} = {S_{OBC}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{2}OH.AD = \dfrac{1}{2}OK.BC \)
\(\Rightarrow OH.AD = OK.BC \)
\(\Rightarrow \displaystyle {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)
Loigiaihay.com
Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 86 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh rằng OM.OC = ON.OB.
Giải bài 2.1 phần bài tập bổ sung trang 86 sách bài tập toán 8. Hình bs.1 cho biết AB // CD, O thuộc MN, MN = 5cm ...
Giải bài 16 trang 86 sách bài tập toán 8. Cho ba đoạn thẳng AB = 3cm, CD = 5cm, EF = 2cm...
Giải bài 15 trang 86 sách bài tập toán 8. Cho trước ba đoạn thẳng có độ dài tương ứng là m, n và p...
Giải bài 14 trang 85 sách bài tập toán 8. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O...
Giải bài 13 trang 85 sách bài tập toán 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD thứ tự là N và M...
Giải bài 12 trang 85 sách bài tập toán 8. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11)...
Giải bài 11 trang 85 sách bài tập toán 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho AE/ED = p/q ...
Giải bài 10 trang 84 sách bài tập toán 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên và các đường chéo AD, BD, AC và BC theo thứ tự tại các điểm M, N, P, Q (h.9)
Giải bài 9 trang 84 sách bài tập toán 8. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.8)...
Giải bài 8 trang 84 sách bài tập toán 8. Hình 7 cho biết tam giác ABC vuông tại A, MN // BC, AB = 24cm, AM = 16cm, AN = 12cm...
Giải bài 7 trang 84 sách bài tập toán 8. Hình 6 cho biết MN // BC, AB = 25cm, BC = 45cm, AM = 16cm, AN = 10cm...
Giải bài 6 trang 84 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC có cạnh BC = a. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EB...
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: