Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 4 - Hình học 9

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 - Chương 4 - Hình học 9

Đề bài

AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R). Kẻ dây CE qua trung điểm I của bán kính OB, kẻ đường cao AH của ∆ACE.

a)  Tính CE, AH và diện tích ∆ACE theo R.

b)  Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, I, E tiếp xúc với đường thẳng AC.

c)  Gọi K là giao điểm của AE và BD. Chứng minh: \(AK.AE + BK.BD = 4R^2\)

d)  Tính thể tích của hình khối sinh ra do ∆CID quay quanh CD.

Lời giải chi tiết

a) ∆COI vuông tại O (gt), ta có :

\(CI = \sqrt {C{O^2} + O{I^2}}  = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{R \over 2}} \right)}^2}}\)\(\;  = {{R\sqrt 5 } \over 2}\)

\( \Rightarrow cos\widehat {OCI} = {{OC} \over {CI}} = {R \over {{{R\sqrt 5 } \over 2}}} = {{2\sqrt 5 } \over 5}\)

Lại có ∆CED vuông ( CD là đường kính) nên

\(CE = CD.cos\widehat {OCI} = 2R.{{2\sqrt 5 } \over 5} \)\(\;= {{4R\sqrt 5 } \over 5}\)

Xét hai tam giác vuông AHI và COI có \(\widehat {HAI} = \widehat {OCI}\) ( cùng phụ với \(\widehat {OIC}\))

Do đó ∆AHI và ∆COI đồng dạng (g.g) \( \Rightarrow {{AH} \over {CO}} = {{AI} \over {CI}}\)

\( \Rightarrow AH = {{CO.AI} \over {CI}} = \left( {R.{{3R} \over 2}} \right):{{R\sqrt 5 } \over 2}\)\(\; = {{3\sqrt 5 R} \over 5}\)

Vậy \({S_{ACE}} = {1 \over 2}AH.CE = {1 \over 2}.{{3\sqrt 5 R} \over 5}.{{4R\sqrt 5 } \over 5}\)\(\; = {{6{R^2}} \over 5}\).

b)    Ta có \(AB \bot  CD\) (gt)  mà \(\widehat {CBA} = \widehat {CEA}\) ( góc nội tiếp cùng chắn )

\( \Rightarrow \widehat {CAB} = \widehat {CEA}\) hay \(\widehat {CAI} = \widehat {IEA}\)

Do đó AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm A, I, E.

c) Xét ∆AIE và ∆AKB có \(\widehat {IAE}\) chung và \(\widehat {AEI} = \widehat {ABD}\) ( vì ) nên ∆AIE và ∆AKB đồng dạng (g.g) \( \Rightarrow {{AK} \over {AI}} = {{AB} \over {AE}}\) \(\Rightarrow AK.AE = AI.AB\)          (1)

Tương tự ∆BKA và ∆BID (g.g)  \( \Rightarrow {{BK} \over {BI}} = {{AB} \over {DB}}\) \(\Rightarrow BK.BD = AB.BI \)      (2)

Cộng (1) và (2), ta có : \(AK.AE + BK.BD = AB(AI + BI) \)\(\,=AB^2= 4R^2\).

d)  Khi tam giác CID quay quanh CD ta có thể tích hình sinh ra gồm hai hình nón bằng nhau và có chung đáy, bán kính \(OI = {R \over 2}\) và chiều cao OC.

Gọi Vn là thể tích của hình nón, ta có :

\({V_n} = {1 \over 3}\pi {R^2}h = {1 \over 3}\pi .{\left( {{R \over 2}} \right)^2}R = {{\pi {R^3}} \over {12}}\)

\(\Rightarrow 2V = {{\pi {R^3}} \over 6}\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay