Bài 10 trang 75 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D di động trên cạnh AC. Đường thẳng d vuông góc

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D di động trên cạnh AC. Đường thẳng d vuông góc với AC tại C cắt đường BD tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AC thì tổng \(\dfrac{1}{{B{D^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}}\) không đổi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựng hình vuông ABFC, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng CF tại G. Chứng minh BG = BD từ đóáp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh tổng không đổi.

Lời giải chi tiết

Dựng hình vuông ABFC, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng CF tại G.

Xét tam giác BFG và tam giác BAD có:

BF = BA (ABFC là hình vuông); \(\widehat {FBG} = \widehat {ABD}\) (cùng phụ với \(\widehat {DBF}\)); \(\widehat {BFG} = \widehat {BAD} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta BFG = \Delta BAD\) (g.c.g)

\( \Rightarrow BG = BD\) (2 cạnh tương ứng)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BEG vuông tại B, đường cao BF ta có:

\(\dfrac{1}{{B{D^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}} = \dfrac{1}{{B{G^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}} \)\(\;= \dfrac{1}{{B{F^2}}} = \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)không đổi.

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng