Bài 10 trang 74 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1


Giải bài tập Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB. Trên Ox lấy điểm

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ Ox vuông góc với AB. Trên Ox lấy điểm D sao cho \(OD = \dfrac{a}{2}\). Từ B vẽ BC vuông góc với AD kéo dài.

a) Tính AD, AC và BC theo a.

b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.

c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.

d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng định lý Pythagore và sử dụng tỉ số đồng dạng để tính.

b) Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng cách đều một điểm

c) Tính góc FCB từ đó dựa vào tam giác BCF vuông tại B để tính BF

d) Tìm tổng và tỉ số của AP và BP dựa vào tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Tính AD, AC và BC theo a.

Ta có O là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) OA = OB = \(\dfrac{1}{2}\)AB = a

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADO vuông tại O:

\(A{D^2} = O{A^2} + O{D^2}\)\(\, = {a^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{4} \)

\(\Rightarrow AD = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Xét tam giác ADO và tam giác ABC có:

+) \(\widehat A\) chung;

+) \(\widehat {AOD} = \widehat {ACB} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \) Tam giác ADO và tam giác ABC đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{OA}}{{AC}} = \dfrac{{OD}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)

\( \Rightarrow \)\(AC = \dfrac{{4OA}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}\) ; \(BC = \dfrac{{4OD}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, C, B, E cùng nằm trên một đường tròn.

Ta có O là trung điểm của AB

\( \Rightarrow \) CO là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC vuông tại C

\( \Rightarrow \)OC = a

\( \Rightarrow \) OA = OB = OC = OE = a

\( \Rightarrow \)A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính a.

c) Vẽ đường vuông góc với BC tại B cắt CE tại F. Tính BF.

Có OA = OE = a \( \Rightarrow \Delta \)OAE vuông cân tại O \( \Rightarrow \widehat {EAB} = {45^o}\)

Ta có A, C, B, E cùng nằm trên đường tròn tâm O (cmt)

\( \Rightarrow \)AEBC là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {ECB} = \widehat {EAB} = {45^o}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Xét \(\Delta \)BCF vuông tại B có \(\widehat {FCB} = {45^o}\) \( \Rightarrow \)\(\Delta \) BCF vuông cân tại B

\( \Rightarrow \) BF = BC = \(\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

d) Gọi P là giao điểm của AB và CE. Tính AP và BP.

Ta có AC // BF (cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {PBF} = \widehat {PAC}\)(so le trong) mà \(\widehat {APC} = \widehat {BPF} \) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \) Tam giác PAC đồng dạng với tam giác PBF (g.g)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{AP}}{{BP}} = \dfrac{{AC}}{{BF}} = \dfrac{{4a}}{{\sqrt 5 }}:\dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = 2\)

\(\Rightarrow AP = 2BP\)

Mà AP + BP = AB = 2a

\( \Rightarrow \) 3BP = 2a \( \Rightarrow \) BP = \(\dfrac{{2a}}{3}\)\( \Rightarrow \) AP = \(\dfrac{{4a}}{3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
2.7 trên 9 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.