Giải SBT đại số, hình học toán lớp 8 tập 1, tập 2 Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 8.3 phần bài tập bổ sung trang 96 SBT toán 8 tập 2


Giải bài 8.3 phần bài tập bổ sung trang 96 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài 4cm và 9cm...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), chân \(H\) của đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn có độ dài \(4cm\) và \(9cm.\)

Gọi \(D\) và \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC.\)

a) Tính độ dài \(DE\).

b) Các đường thẳng vuông góc với \(DE\) tại \(D\) và \(E\) cắt \(BC\) theo thứ tự tại \(M\) và \(N\). Chứng minh \(M\) là trung điểm của \(BH ,\) \(N\) là trung điểm của \(CH.\)

c) Tính diện tích tứ giác \(DENM.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Công thức tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right).h\)

Trong đó: \(a,b\) là độ dài hai đáy hình thang, \(h\) là chiều cao.

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông \(ABH\) và \(CAH\) có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (cùng phụ với  \(\widehat {BAH}\))

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^o}\)

\(\Rightarrow ∆ ABH\) đồng dạng \(∆ CAH\) (g.g).

\( \Rightarrow\displaystyle {{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH  \)

\(\Rightarrow AH=\sqrt {BH.CH} = \sqrt {4.9}  \)\(\,= 6\,(cm)  \)

Mặt khác, \(HD ⊥ AB\) và \(HE ⊥ AC\) nên \(\widehat {ADH} = \widehat {AEH} = \widehat {DAE} = {90^0}\)

Do đó, \(ADHE \) là hình chữ nhật.

Suy ra: \(DE = AH = 6 \;(cm)\) (hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\widehat {MDH} = {90^o} - \widehat {ODH}\\
\widehat {MHD} = {90^o} - \widehat {OHD}
\end{array}\)

Mà \(ADHE \) là hình chữ nhật nên \(OD=OH=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{DE}{2}\)

Suy ra tam giác \(ODH\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {ODH} = \widehat {OHD}\).

Do đó \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\).

Xét tam giác \(MDH\) có \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\) (chứng minh trên) nên \(\Delta MDH\) cân tại \(M\), do đó \(MD = MH\)     (1)

\(\begin{array}{l}
\widehat {BDM} + \widehat {MDH} = {90^o}\\
\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,\,(cmt)\\
\Rightarrow \widehat {BDM} + \widehat {MHD} = {90^o}
\end{array}\)

Mặt khác: \(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = {90^o}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

Do đó: \( \widehat {BDM} = \widehat {MBD}\) 

Suy ra \(\Delta BDM\) cân tại \(M\) nên \(MD = BM\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M \) là trung điểm của \(BH\).

Chứng minh tương tự \(N\) là trung điểm của \(CH.\)

c) Theo chứng minh trên, ta có:

\(DM = MH \displaystyle= {1 \over 2}BH = \displaystyle{1 \over 2}.4 = 2(cm) \)

\(EN = NH \displaystyle= {1 \over 2}CH =\displaystyle {1 \over 2}.9 = 4,5\)\(\,(cm) \)

\(DE = AH = 6\,(cm) \)

Ta có \(MD//EN\) (cùng vuông góc với \(DE\)) nên \(DENM \) là hình thang.

Lại có \(\widehat {MDE}=90^0\) nên \(DENM \) là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:

\(\displaystyle {S_{DENM}} = {1 \over 2}\left( {DM + EN} \right)DE \)\(\,\displaystyle = {1 \over 2}.\left( {2 + 4,5} \right).6 = 19,5\,(c{m^2})\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 12 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua