Bài 5.1, 5.2, 5.3 phần bài tập bổ sung trang 56 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 5.1, 5.2, 5.3 phần bài tập bổ sung trang 56 sách bài tập toán 9. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai a.x^2 + bx + c = 0

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bài 5.1

Giả sử \({x_1} , {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(∆’ = 0\). Điều nào sau đây là đúng?

A) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)

B) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over a}\)

C) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {b \over a}\)

D) \(\displaystyle {x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over {2a}}\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)

+ Nếu \(\Delta ' >0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1}=\dfrac{-b' + \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\); \({x_2}=\dfrac{-b' - \sqrt{\bigtriangleup '}}{a}\)

+ Nếu \(\Delta ' =0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}=\dfrac{-b'}{a}\).

+ Nếu \(\Delta ' <0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \({x_1} , {x_2}\) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(∆’ = 0\) thì \({x_1} = {x_2} \displaystyle=  - {{b'} \over a}\)

Chọn B.

Bài 5.2

Tìm mối liên hệ giữa \(a, b, c\) để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)  (1) có nghiệm ta xét hai trường hợp sau:

- TH1: \(a=0\) từ đó tìm nghiệm của (1).

- TH2: \(a\ne 0\), phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

- TH1: \({{b^2} + {c^2}}=0\) \( \Leftrightarrow b = 0\) và \(c = 0\).

Khi đó phương trình đã cho có dạng: \({a^2} = 0\)   (*)

Phương trình (*) có nghiệm khi \(a=0\).

Vậy \(a=b=c=0\) thì phương trình đã cho có vô số nghiệm. 

- TH2: \({b^2} + {c^2} \ne 0\)

Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\)

\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra \(b\) và \(c\) không đồng thời bằng \(0.\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr 
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr 
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr 
& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr 
& \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)

Vì \({b^2} \ge 0 \) \(\Rightarrow \Delta ' \ge 0\) \( \Leftrightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \) \(\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)

Vậy \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 5.3

Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \) \(+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Phương pháp giải:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0)\) và \(b = 2b'\), \(\Delta ' = b{'^2} - ac\) luôn có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\).

Đối với bài này ta chứng minh phương trình đã cho có \(\Delta ' \ge 0\).

Lời giải chi tiết:

\( \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) \)\(\,+ \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx \)\(\,+ bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc\)\(\, + ac = 0 \)

\( \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \)

\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\)\(\, - 3ab - 3ac - 3bc \)

\( = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \) 

\(\displaystyle = {1 \over 2}( 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac\)\(\, - 2bc) \) 

\(\displaystyle= {1 \over 2}[ \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right)\)\(\, + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)] \)

\(\displaystyle = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right]  \)

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;\) \({\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \Delta ' = \displaystyle{1 \over 2}[ {{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} \)\(\,+ {{\left( {a - c} \right)}^2}] \ge 0\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài