Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 tập 1


Giải bài 164 trang 101 sách bài tập toán 8. Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D...

Đề bài

Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD.

a. Tính khoảng cách từ I đến AB

b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Vận dụng tính chất của tam giác cân và tính chất về giao điểm hai đường chéo của hình vuông.

- Xác định khoảng cách giữa I với đoạn thẳng AB.

Lời giải chi tiết

a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB 

⇒ CE // DF // IH (cùng vuông với AB)

Suy ra DCEF là hình thang.

Xét hình thang DCEF có: 

CE // DF // IH và IC = ID (vì I là trung điểm của CD)

Nên H là trung điểm cạnh EF

Suy ra IH là đường trung bình của hình thang DCEF

\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) (1)

Vì C là tâm hình vuông AMNP nên \(CA=CM\) (tính chất) và \(\widehat{ACM}=90^0\)

⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C

Lại có CE ⊥ AM hay CE là đường cao của tam giác cân CAM

⇒ CE cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ CE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vì D là tâm hình vuông BMLK nên \(DB=DM\) (tính chất) và \(\widehat{MDB}=90^0\)

⇒ ∆ DBM vuông cân tại D

Có DF ⊥ BM nên DF là đường cao của tam giác cân DBM

⇒ DF cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)

⇒ DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vậy CE + DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AM + \(\displaystyle {1 \over 2}\)BM

= \(\displaystyle {1 \over 2}\) (AM + BM) = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB = \(\displaystyle {a \over 2}\)

Từ (1) ta suy ra: 

\( \Rightarrow IH = \displaystyle {{DF + CE} \over 2}\) \(=\displaystyle {{\displaystyle {a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\)

b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN

Ta có: AN ⊥ MP (2) (tính chất hình vuông APNM)

BL ⊥ MK (3) (tính chất hình vuông BMLK)

Lại có: \(\widehat {PMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {AMN} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông nên MP là phân giác góc AMN) 

\(\widehat {KMN} = \dfrac{1}{2}\widehat {BML} = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do BMLK là hình vuông nên MK là phân giác góc BML) 

\( \Rightarrow \widehat {PMK} = \widehat {PMN} + \widehat {NMK} \)\(= {45^0} + {45^0} = {90^0}\)

Suy ra MP ⊥ MK (4)

Từ (2), (3) và (4) suy ra BL ⊥ AN

Lại có \(\widehat {QAB} = \dfrac{1}{2}\widehat {MAP} \)\(= \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\) (do APNM là hình vuông)

⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định. 

Khi M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)  nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\)

Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ 

Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ

Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \(\displaystyle {a \over 4}\) .

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.2 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - Bài tập ôn chương 1 - Tứ giác

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài