Bài 162 trang 100 SBT Toán 8 tập 1


Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

a. Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao ?

b. Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c. Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi và hình chữ nhật.

Sử dụng tính chất các cạnh, góc và đường chéo của các hình đó.

Lời giải chi tiết

a. Xét tứ giác AEFD:

AB // CD (gt) hay AE // FD

AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (gt)

FD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (gt)

Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có AD = AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB

Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

Xét tứ giác AECF : AE // CF (gt)

AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (gt)

CF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (gt)

Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp canh đối song song và bằng nhau)

b. Tứ giác AECF là hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ⇒ \(\widehat {EMF} = {90^0}\)

Mà AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Suy ra: CE ⊥ ED \( \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\)

Xét tứ giác EBFD ta có: EB = FD (vì cùng bằng AE) và EB // FD (vì AB // CD)

Xét tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ DE // BF

Suy ra: \(BF ⊥ AF  ⇒ \widehat {MFN} = 90°\)

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

c. 

Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF

ME = \(\dfrac{1}2\)DE (tính chất hình thoi AEFD)

MF = \(\dfrac{1}2\)AF (tính chất hình thoi AEFD)

Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒ \(\widehat A = {90^0}\)  ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒\(\widehat A = {90^0}\)

Hình thoi AEFD có \(\widehat A = {90^0}\) nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có hai cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 19 phiếu

Các bài liên quan: - Bài tập ôn chương 1 - Tứ giác

  • Bài 163 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 163 trang 100 sách bài tập toán 8. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ? b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF ...

  • Bài 164 trang 101 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 164 trang 101 sách bài tập toán 8. Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D...

  • Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 101 SBT Toán 8 tập 1

    Giải 1.1 phần bài tập bổ sung trang 101 sách bài tập toán 8. Điền vào chỗ trống : a. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là ...

  • Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 101 SBT Toán 8 tập 1

    Giải 1.2 phần bài tập bổ sung trang 101 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC. a. Chứng minh rằng ADEF là hình thoi...

  • Bài 161 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 161 trang 100 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC...

  • Bài 160 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 160 trang 100 sách bài tập toán 8. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là...

  • Bài 159 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 159 trang 100 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC....

  • Bài 158 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 158 trang 100 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D...

  • Bài 157 trang 99 SBT Toán 8 tập 1

    Giải bài 157 trang 99 sách bài tập toán 8. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là: a. Hình chữ nhật; b. Hình thoi; c. Hình vuông...

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.