Bài tập 31 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2


Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB < AC), đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AC tại M.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB < AC), đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AC tại M.

a) Chứng minh rằng \(A{H^2} = AM.AC\)

b) Chứng minh rằng AM.AC = HB.HC.

c) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng HM tại I, vẽ In vuông góc với BC tại N. Chứng minh rằng \(\Delta HMN \sim \Delta HCI\) .

d) Gọi E là giao điểm của IN với AC, HE cắt IC ở F, biết AB = 12 cm, BC = 20 cm. Tính diện tích tam giác AMF.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆AHM và ∆AHC có: \(\widehat {HAM}\) (chung) và \(\widehat {AMH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AHM \sim \Delta ACH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AM} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AM.AC(1)\)

b) Xét ∆ABH và ∆AHC có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Và \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với góc B)

Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CAH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = HB.HC(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra AM.AC = HB.HC

c) Xét ∆HMC và ∆HNI có: \(\widehat {MHC}\) (chung) và \(\widehat {HMC} = \widehat {HNI}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta HMC \sim \Delta HNI(g.g)\)

\(\Rightarrow {{HM} \over {HN}} = {{HC} \over {HI}} \)

\(\Rightarrow {{HM} \over {HC}} = {{HN} \over {HI}}\)

Xét ∆HMN và ∆HCI có: \(\widehat {IHC}\) (chung), \({{HM} \over {HC}} = {{HN} \over {HI}}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta HMN \sim \Delta HCI(c.g.c)\)

d) ∆ABC vuông tại A \( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) (định lí Py-ta-go)

Nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{20}^2} - {{12}^2}}  = 16(cm)\)

Ta có \(AH.BC = AB.AC = ( = 2{S_{ABC}})\)

\(\Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = {{48} \over 5}(cm)\)

Mà \(A{H^2} = AM.AC\) (câu a) nên \(AM = {{A{H^2}} \over {AC}} = {\left( {{{48} \over 5}} \right)^2}:16 = {{144} \over {25}}(cm)\)

\(CM = AC - AM = 16 - {{144} \over {25}} = {{256} \over {25}}(cm)\)

Ta có \(AB \bot AC(gt),HM \bot AC(gt) \Rightarrow AB//HM\)

Mà AI // BH (gt) => Tứ giác AIHB là hình bình hành

\( \Rightarrow IH = AB = 12cm,AI = BH\)

∆HAC vuông tại H \( \Rightarrow A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) (định lí Py-ta-go)

Do đó \(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{16}^2} - {{\left( {{{48} \over 5}} \right)}^2}}  = {{64} \over 5}(cm)\)

Tứ giác AHNI là hình chữ nhật \( \Rightarrow HN = AI = BH = BC - CH \)\(\,= 20 - {{64} \over 5} = {{36} \over 5}(cm)\)

Nên \(CN = CH - HN = {{64} \over 5} - {{36} \over 5} = {{28} \over 5}(cm)\)

Gọi T là giao điểm của HF vafAI, vẽ \(FG \bot AC\) tại G

∆EHN có IT // HN \( \Rightarrow {{IT} \over {HN}} = {{IE} \over {EN}}\)

∆ECN có AI // CN \( \Rightarrow {{AI} \over {CN}} = {{IE} \over {EN}}\)

Do đó \({{IT} \over {HN}} = {{AI} \over {CN}}\left( { = {{IE} \over {EN}}} \right)\)

\(\Rightarrow IT = {{AI.HN} \over {CN}} = \left( {{{36} \over 5}.{{36} \over 5}} \right):{{28} \over 5} = {{324} \over {35}}(cm)\)

∆IFT có HC // IF \( \Rightarrow {{CF} \over {IF}} = {{HC} \over {IT}}\)

Nên \({{CF} \over {IF}} = {{64} \over 5}:{{324} \over {35}} = {{112} \over {81}} \)

\(\Rightarrow {{CF} \over {IF + CF}} = {{112} \over {81 + 112}}\)

\(\Rightarrow {{CF} \over {CI}} = {{112} \over {193}}\)

∆MAI vuông tại M \( \Rightarrow A{M^2} + I{M^2} = A{I^2}\) (định lí Py-ta-go)

Do đó \(IM = \sqrt {A{I^2} - A{M^2}}  \)\(\,= \sqrt {{{\left( {{{36} \over 5}} \right)}^2} - {{\left( {{{144} \over {25}}} \right)}^2}}  = {{108} \over {25}}(cm)\)

Ta có \(FG \bot AC,IM \bot AC \Rightarrow FG//IM\)

∆GIM có FG // IM \( \Rightarrow {{FG} \over {IM}} = {{CF} \over {CI}}\)

\(\Rightarrow FG = {{CF} \over {CI}}.IM \)\(\,= {{112} \over {193}}.{{108} \over {25}} = {{12096} \over {4825}}(cm)\)

Do vậy \({S_{AMF}} = {1 \over 2}AM.FG \)\(\,= {1 \over 2}.{{144} \over {25}}.{{12096} \over {4825}} = {{870912} \over {120625}}(c{m^2})\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài