Bài tập 29 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2


Giải bài tập Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng : \(\Delta BDA \sim \Delta BFC\) và BD.BC = BF.BA

b) Chứng minh rằng \(\widehat {BDF} = \widehat {BAC}\) .

c) CHứng minh rằng BH.BE = BD.BC và \(BH.BE{\rm{ }} + {\rm{ }}CH.CF{\rm{ }} = B{C^2}\) .

d) Đường thẳng qua A song song với BC cắt tia DF tại M. Gọi I là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng IE // BC.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆BDA và ∆BFC có:

\(\widehat {DBA}\) (chung), \(\widehat {BDA} = \widehat {BFC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta BDA \sim \Delta BFC(g.g)\)

\( \Rightarrow {{BD} \over {BF}} = {{BA} \over {BC}} \)

\(\Rightarrow BD.BC = BF.BA\)

b) Xét ∆BDF và ∆BAC có: \(\widehat {DBF}(chung),\)

\({{BD} \over {BA}} = {{BF} \over {BC}}\) (vì BD.BC = BF.BA)

Do đó \(\Delta BDF \sim \Delta BAC(c.g.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {BDF} = \widehat {BAC}\)

c) Xét ∆BDH và ∆BEC có: \(\widehat {DBH}(chung),\widehat {BDH} = \widehat {BEC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta BDH \sim \Delta BEC(g.g) \)

\(\Rightarrow {{BD} \over {BE}} = {{BH} \over {BC}} \)

\(\Rightarrow BH.BE = BD.BC\)

Tương tự có \(\Delta CDH \sim \Delta CFB \)

\(\Rightarrow {{CH} \over {BC}} = {{CD} \over {CF}}\)

\(\Rightarrow CH.CF = CD.BC\)

Do đó \(BH.BE + CH.CF \)\(\,= BD.BC + CD.BC\)\(\, = BC.(BD + CD) = B{C^2}\)

d) Gọi N là giao điểm của DE và AM, ta có \(\widehat {BDF} = \widehat {BAC}(\Delta BDF \sim \Delta BAC)\)

Tương tự \(\widehat {CDE} = \widehat {CAB}\)

Do đó \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}.\) Mà \(\widehat {BDF} + \widehat {ADM} = \widehat {CDE} + \widehat {ADN}( = 90^\circ ) \)

\(\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {ADN}\)

Mặt MN // BC, \(AD \bot BC \Rightarrow MN \bot AD\)

∆DMN có DA là đường cao, đường phân giác

\( \Rightarrow \Delta DMN\) cân tại D => AM = AN

Xét ∆IDC có: AM // CD \( \Rightarrow {{AM} \over {CD}} = {{AI} \over {DI}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét ∆EDC có: CD // AN \( \Rightarrow {{AN} \over {CD}} = {{AE} \over {CE}}\) (hệ quả của định lí Thales) \( \Rightarrow {{AI} \over {DI}} = {{AE} \over {CE}}\)

Xét ∆AND có: \({{AI} \over {DI}} = {{AE} \over {CE}} \Rightarrow IE//AN\) (định lí Thales đảo)

Ta có IE // AN và AN // BC => IE // BC

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.6 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài