Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.
Đề bài
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.
a) Chứng minh AE.AC = AF.AB
b) Chứng minh \(\Delta AEF \sim \Delta ABC.\)
c) Chứng minh \(\Delta HEF \sim \Delta HCB.\)
d) Phân giác của góc BAC lần lượt cắt EF tại I, cắt BC tại K.
Chứng minh \({{IE} \over {IF}} = {{KB} \over {KC}}\)
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆ABE và ∆ACF có góc A (chung) và \(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}( = 90^\circ )\)
Do đó \(\Delta ABE \sim \Delta ACF(g.g) \Rightarrow {{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}}\)
=> AE.AC = AF.AB
b) Ta có: \({{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}} \Rightarrow {{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {AC}}\)
Xét ∆AEF và ∆ABC có
\({{AE} \over {AB}} = {{AF} \over {AC}}\) và góc EAF (chung)
Do đó \(\Delta AEF \sim \Delta ABC(c.g.c)\)
c) Ta có \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}(\Delta AEF \sim \Delta ABC)\)
Mà \(\widehat {AEF} + \widehat {HEF} = \widehat {AEB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \) (∆FBC vuông tại F)
Do đó \(\widehat {HEF} = \widehat {HCB}\)
Xét ∆HEF và ∆HCB có \(\widehat {HEF} = \widehat {HCB};\widehat {EHF} = \widehat {BHC}\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \Delta HEF \sim \Delta HCB(g.g)\)
d) ∆AEF có AI là đường phân giác (gt) nên \({{IE} \over {IF}} = {{AE} \over {AF}}\)
∆ABC có AK là đường phân giác (gt) \( \Rightarrow {{KB} \over {KC}} = {{AB} \over {AC}}\)
Ta có: \({{IE} \over {IF}} = {{AE} \over {AF}};{{KB} \over {KC}} = {{AB} \over {AC}}\) và \({{AE} \over {AF}} = {{AB} \over {AC}}\) (câu a) \( \Rightarrow {{IE} \over {IF}} = {{KB} \over {KC}}\)
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.
Lớp 12
