Bài tập 22 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

a) Chứng minh rằng tam giác AEH và tam giác AHB đồng dạng. Suy ra AH2 = AE.AB.

b) Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

d) Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh \(AM \bot EF\)

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆AEH và ∆AHB có: \(\widehat {EAH}\) (chung) và \(\widehat {AEH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AEH \sim \Delta AHB(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AE} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AE.AB\)

b) Xét ∆AHF và ∆AHC có:

\(\widehat {HAF}\) (chung) và \(\widehat {AFH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AHF \sim \Delta ACH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AF} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AF.AC\)

Mà \(A{H^2} = AE.AB\) nên \(AF.AC = AE.AB\)

c) Xét ∆AFE và ∆ABC có: \({{AE} \over {AC}} = {{AF} \over {AB}}\) (vì AF.AC = AE.AB) và góc A chung

Do đó \(\Delta AFE \sim \Delta ABC(c.g.c)\)

d) Gọi I là giao điểm của EF và AM

∆ABC vuông tại Acos AM là đường trung tuyến (gt)

\( \Rightarrow AM = MC = {{BC} \over 2} \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {IAF} = \widehat {ACM}\)

Mà \(\widehat {ACM} = \widehat {AEF}(\Delta ABC \sim \Delta AFE)\) nên \(\widehat {IAF} = \widehat {AEF}\)

Ta có: \(\widehat {AEF} + \widehat {AFI} = 90^\circ (\Delta AEF\) vuông tại A) và \(\widehat {AEF} = \widehat {IAF} \Rightarrow \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 90^\circ \)

Mặt khác \(\widehat {AIF} + \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IAF)

Nên \(\widehat {AIF} + 90^\circ  = 180^\circ \)

\(\Rightarrow \widehat {AIF} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ\)

\(  \Rightarrow AM \bot EF\)

Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Luyện tập - Chủ đề 2 : Tam giác đồng dạng và ứng dụng

>>Học trực tuyến các môn học lớp 8, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Lý, Hóa. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu