Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 8, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 8 Luyện tập - Chủ đề 2 : Tam giác đồng dạng và ứng dụng

Bài tập 22 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2


Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

a) Chứng minh rằng tam giác AEH và tam giác AHB đồng dạng. Suy ra AH2 = AE.AB.

b) Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

d) Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh \(AM \bot EF\)

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆AEH và ∆AHB có: \(\widehat {EAH}\) (chung) và \(\widehat {AEH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AEH \sim \Delta AHB(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AE} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AE.AB\)

b) Xét ∆AHF và ∆AHC có:

\(\widehat {HAF}\) (chung) và \(\widehat {AFH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AHF \sim \Delta ACH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AF} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AF.AC\)

Mà \(A{H^2} = AE.AB\) nên \(AF.AC = AE.AB\)

c) Xét ∆AFE và ∆ABC có: \({{AE} \over {AC}} = {{AF} \over {AB}}\) (vì AF.AC = AE.AB) và góc A chung

Do đó \(\Delta AFE \sim \Delta ABC(c.g.c)\)

d) Gọi I là giao điểm của EF và AM

∆ABC vuông tại Acos AM là đường trung tuyến (gt)

\( \Rightarrow AM = MC = {{BC} \over 2} \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {IAF} = \widehat {ACM}\)

Mà \(\widehat {ACM} = \widehat {AEF}(\Delta ABC \sim \Delta AFE)\) nên \(\widehat {IAF} = \widehat {AEF}\)

Ta có: \(\widehat {AEF} + \widehat {AFI} = 90^\circ (\Delta AEF\) vuông tại A) và \(\widehat {AEF} = \widehat {IAF} \Rightarrow \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 90^\circ \)

Mặt khác \(\widehat {AIF} + \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IAF)

Nên \(\widehat {AIF} + 90^\circ  = 180^\circ \)

\(\Rightarrow \widehat {AIF} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ\)

\(  \Rightarrow AM \bot EF\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store