Bài tập 22 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.

a) Chứng minh rằng tam giác AEH và tam giác AHB đồng dạng. Suy ra AH² = AE.AB.

b) Chứng minh rằng AE.AB = AF.AC.

c) Chứng minh rằng tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

d) Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh \(AM \bot EF\)

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆AEH và ∆AHB có: \(\widehat {EAH}\) (chung) và \(\widehat {AEH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AEH \sim \Delta AHB(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AE} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AE.AB\)

b) Xét ∆AHF và ∆AHC có:

\(\widehat {HAF}\) (chung) và \(\widehat {AFH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AHF \sim \Delta ACH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AF} \over {AH}} \Rightarrow A{H^2} = AF.AC\)

Mà \(A{H^2} = AE.AB\) nên \(AF.AC = AE.AB\)

c) Xét ∆AFE và ∆ABC có: \({{AE} \over {AC}} = {{AF} \over {AB}}\) (vì AF.AC = AE.AB) và góc A chung

Do đó \(\Delta AFE \sim \Delta ABC(c.g.c)\)

d) Gọi I là giao điểm của EF và AM

∆ABC vuông tại Acos AM là đường trung tuyến (gt)

\( \Rightarrow AM = MC = {{BC} \over 2} \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {IAF} = \widehat {ACM}\)

Mà \(\widehat {ACM} = \widehat {AEF}(\Delta ABC \sim \Delta AFE)\) nên \(\widehat {IAF} = \widehat {AEF}\)

Ta có: \(\widehat {AEF} + \widehat {AFI} = 90^\circ (\Delta AEF\) vuông tại A) và \(\widehat {AEF} = \widehat {IAF} \Rightarrow \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 90^\circ \)

Mặt khác \(\widehat {AIF} + \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác IAF)

Nên \(\widehat {AIF} + 90^\circ = 180^\circ \)

\(\Rightarrow \widehat {AIF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)

\( \Rightarrow AM \bot EF\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài tập 23 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH
Bài tập 24 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.
Bài tập 25 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhai tại H.
Bài tập 26 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F.
Bài tập 27 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH
Bài tập 28 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.
Bài tập 29 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Bài tập 30 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho hình chữ nhật ABCD (AD
Bài tập 31 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB < AC), đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AC tại M.