
Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.
a) Chứng minh rằng \(\Delta HAD \sim \Delta ABD\) .
b) Biết AB = 20 cm, AD = 15 cm. Tính độ dài các cạnh BD, AH.
c) Chứng minh rằng \(A{H^2} = HD.HB\) .
d) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD. Vẽ EM vuông góc với BD tại M. EM cắt AB tại O. Vẽ AK vuông góc với BE tại K. vẽ AF vuông góc với OD tại F. Chứng minh ba điểm H, F, K thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆HAD và ∆ABD có: \(\widehat {ADH}\) (chung) và \(\widehat {AHD} = \widehat {DAB}( = 90^\circ )\)
Do đó \(\Delta HAD \sim \Delta ABD(g.g)\)
b) ∆ABD vuông tại A có:
\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (định lí Py-ta-go)
\(\eqalign{ & \Rightarrow B{D^2} = {20^2} + {15^2} = 625\cr& \Rightarrow BD = 25(cm) \cr & \Delta HAD \sim \Delta ABD \Rightarrow {{HA} \over {AB}} = {{AD} \over {BD}} \cr & \Rightarrow {{HA} \over {20}} = {{15} \over {25}}\cr& \Rightarrow HA = {{20.15} \over {25}} = 12(cm) \cr} \)
c) Xét ∆ADH và ∆AHB có:
\(\widehat {AHD} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {DAH} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ với góc ADH)
Do đó \(\Delta ADH \sim \Delta BAH(g.g) \)
\(\Rightarrow {{AH} \over {BH}} = {{DH} \over {AH}} \)
\(\Rightarrow A{H^2} = HD.HB\)
d) Gọi N là giao điểm của OD và EB
∆EOB có EA, BM là hai đường cao cắt nhau tại D
=> D là trực tâm của tam giác EOB
=> ON là đường cao của tam giác EOB \( \Rightarrow ON \bot BE\)
Mà \(AK \bot BE \Rightarrow ON//AK\)
Xét ∆NOB có: ON // AK \( \Rightarrow {{BK} \over {BN}} = {{BA} \over {BO}}\) (định lí Thales)
Mặt khác \(AH \bot BM,OM \bot BM \Rightarrow AH//OM\)
Xét ∆MOB có: AH // OM \( \Rightarrow {{BH} \over {BM}} = {{BA} \over {BO}}\)
Xét ∆BMN có: \({{BK} \over {BN}} = {{BH} \over {BM}}\left( { = {{BA} \over {BO}}} \right) \Rightarrow HK//MN\) (định lí Thales đảo)
Xét ∆MDE có: AH // ME \( \Rightarrow {{DH} \over {DM}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả của định lí Thales)
Xét ∆NDE có: AF // NE \( \Rightarrow {{DF} \over {DN}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả định lí Thales)
Xét ∆DHF và ∆DMN có: \(\widehat {HDF} = \widehat {MDN}\) (đối đỉnh), \({{DH} \over {DM}} = {{DF} \over {DN}}\left( { = {{DA} \over {DE}}} \right)\)
Do đó \(\Delta DHF \sim \Delta DMN(c.g.c) \)
\(\Rightarrow \widehat {DHF} = \widehat {DMN} \Rightarrow HF//MN\)
Ta có HK // MN và HF // MN => HK, HF trùng nhau (tiên đề Ơ-clit)
Vậy H, F, K thẳng hàng
Loigiaihay.com
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB < AC), đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AC tại M.
Giải bài tập Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F.
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhai tại H.
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: