Bài tập 30 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Giải bài tập Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.

a) Chứng minh rằng \(\Delta HAD \sim \Delta ABD\) .

b) Biết AB = 20 cm, AD = 15 cm. Tính độ dài các cạnh BD, AH.

c) Chứng minh rằng \(A{H^2} = HD.HB\) .

d) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD. Vẽ EM vuông góc với BD tại M. EM cắt AB tại O. Vẽ AK vuông góc với BE tại K. vẽ AF vuông góc với OD tại F. Chứng minh ba điểm H, F, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Xét ∆HAD và ∆ABD có: \(\widehat {ADH}\) (chung) và \(\widehat {AHD} = \widehat {DAB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta HAD \sim \Delta ABD(g.g)\)

b) ∆ABD vuông tại A có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (định lí Py-ta-go)

\(\eqalign{ & \Rightarrow B{D^2} = {20^2} + {15^2} = 625\cr& \Rightarrow BD = 25(cm) \cr & \Delta HAD \sim \Delta ABD \Rightarrow {{HA} \over {AB}} = {{AD} \over {BD}} \cr & \Rightarrow {{HA} \over {20}} = {{15} \over {25}}\cr& \Rightarrow HA = {{20.15} \over {25}} = 12(cm) \cr} \)

c) Xét ∆ADH và ∆AHB có:

\(\widehat {AHD} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {DAH} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ với góc ADH)

Do đó \(\Delta ADH \sim \Delta BAH(g.g) \)

\(\Rightarrow {{AH} \over {BH}} = {{DH} \over {AH}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} = HD.HB\)

d) Gọi N là giao điểm của OD và EB

∆EOB có EA, BM là hai đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác EOB

=> ON là đường cao của tam giác EOB \( \Rightarrow ON \bot BE\)

Mà \(AK \bot BE \Rightarrow ON//AK\)

Xét ∆NOB có: ON // AK \( \Rightarrow {{BK} \over {BN}} = {{BA} \over {BO}}\) (định lí Thales)

Mặt khác \(AH \bot BM,OM \bot BM \Rightarrow AH//OM\)

Xét ∆MOB có: AH // OM \( \Rightarrow {{BH} \over {BM}} = {{BA} \over {BO}}\)

Xét ∆BMN có: \({{BK} \over {BN}} = {{BH} \over {BM}}\left( { = {{BA} \over {BO}}} \right) \Rightarrow HK//MN\) (định lí Thales đảo)

Xét ∆MDE có: AH // ME \( \Rightarrow {{DH} \over {DM}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét ∆NDE có: AF // NE \( \Rightarrow {{DF} \over {DN}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả định lí Thales)

Xét ∆DHF và ∆DMN có: \(\widehat {HDF} = \widehat {MDN}\) (đối đỉnh), \({{DH} \over {DM}} = {{DF} \over {DN}}\left( { = {{DA} \over {DE}}} \right)\)

Do đó \(\Delta DHF \sim \Delta DMN(c.g.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {DHF} = \widehat {DMN} \Rightarrow HF//MN\)

Ta có HK // MN và HF // MN => HK, HF trùng nhau (tiên đề Ơ-clit)

Vậy H, F, K thẳng hàng

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài tập 31 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông góc tại A (AB < AC), đường cao AH. Vẽ HM vuông góc với AC tại M.
Bài tập 29 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Bài tập 28 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M và N là trung điểm của AH và BH.
Bài tập 27 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH
Bài tập 26 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. Tia phân giác của góc B cắt AC ở E, cắt AH ở F.
Bài tập 25 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhai tại H.
Bài tập 24 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BE, CF cắt nhau ở H.
Bài tập 23 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH
Bài tập 22 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, vẽ HF vuông góc với AC tại F.