Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 8, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 8 Luyện tập - Chủ đề 2 : Tam giác đồng dạng và ứng dụng

Bài tập 30 trang 93 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2


Giải bài tập Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD (AD<AB). Vẽ AH vuông góc với BD tại H.

a) Chứng minh rằng \(\Delta HAD \sim \Delta ABD\) .

b) Biết AB = 20 cm, AD = 15 cm. Tính độ dài các cạnh BD, AH.

c) Chứng minh rằng \(A{H^2} = HD.HB\) .

d) Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD. Vẽ EM vuông góc với BD tại M. EM cắt AB tại O.  Vẽ AK vuông góc với BE tại K. vẽ AF vuông góc với OD tại F. Chứng minh ba điểm H, F, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆HAD và ∆ABD có: \(\widehat {ADH}\) (chung) và \(\widehat {AHD} = \widehat {DAB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta HAD \sim \Delta ABD(g.g)\)

b) ∆ABD vuông tại A có:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\) (định lí Py-ta-go)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow B{D^2} = {20^2} + {15^2} = 625\cr& \Rightarrow BD = 25(cm)  \cr  & \Delta HAD \sim \Delta ABD \Rightarrow {{HA} \over {AB}} = {{AD} \over {BD}}  \cr  &  \Rightarrow {{HA} \over {20}} = {{15} \over {25}}\cr& \Rightarrow HA = {{20.15} \over {25}} = 12(cm) \cr} \)

c) Xét ∆ADH và ∆AHB có:

\(\widehat {AHD} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {DAH} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ với góc ADH)

Do đó \(\Delta ADH \sim \Delta BAH(g.g) \)

\(\Rightarrow {{AH} \over {BH}} = {{DH} \over {AH}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} = HD.HB\)

d) Gọi N là giao điểm của OD và EB

∆EOB có EA, BM là hai đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác EOB

=> ON là đường cao của tam giác EOB \( \Rightarrow ON \bot BE\)

Mà \(AK \bot BE \Rightarrow ON//AK\)

Xét ∆NOB có: ON // AK \( \Rightarrow {{BK} \over {BN}} = {{BA} \over {BO}}\) (định lí Thales)

Mặt khác \(AH \bot BM,OM \bot BM \Rightarrow AH//OM\)

Xét ∆MOB có: AH // OM \( \Rightarrow {{BH} \over {BM}} = {{BA} \over {BO}}\)

Xét ∆BMN có: \({{BK} \over {BN}} = {{BH} \over {BM}}\left( { = {{BA} \over {BO}}} \right) \Rightarrow HK//MN\) (định lí Thales đảo)

Xét ∆MDE có: AH // ME \( \Rightarrow {{DH} \over {DM}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả của định lí Thales)

Xét ∆NDE có: AF // NE \( \Rightarrow {{DF} \over {DN}} = {{DA} \over {DE}}\) (hệ quả định lí Thales)

Xét ∆DHF và ∆DMN có: \(\widehat {HDF} = \widehat {MDN}\) (đối đỉnh), \({{DH} \over {DM}} = {{DF} \over {DN}}\left( { = {{DA} \over {DE}}} \right)\)

Do đó \(\Delta DHF \sim \Delta DMN(c.g.c) \)

\(\Rightarrow \widehat {DHF} = \widehat {DMN} \Rightarrow HF//MN\)

Ta có HK // MN và HF // MN => HK, HF trùng nhau (tiên đề Ơ-clit)

Vậy H, F, K thẳng hàng

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store