Bài tập 27 trang 92 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2


Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\)

a) Chứng minh rằng AB2 = BH.BC.

b) Vẽ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với BC. Chứng minh rằng HB.HC = AM.AB.

c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC ở E. Chứng minh rằng EM.EN = EB.EC.

d) Chứng minh rằng tam giác BMN đồng dạng với tam giác MHC.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét ∆ABH và ∆ABC có: góc B (chung) và \(\widehat {AHB} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CBA(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AB} \over {BC}} = {{BH} \over {AB}}\)

\(\Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)

b) Xét ∆ABH và ∆AHC có:

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với góc B)

Và \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta ABH \sim \Delta CAH(g.g)\)

\( \Rightarrow {{AH} \over {HC}} = {{BH} \over {AH}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} = BH.HC(1)\)

Xét ∆AMH và ∆ABH có: \(\widehat {MAH}\) (chung) và \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AMH \sim \Delta AHB(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AH} \over {AB}} = {{AM} \over {AH}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} = AM.AB(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: HB.HC=AM.AB

c) Xét ∆AHN và ∆AHC có: góc HAN chung và \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\)

Do đó \(\Delta AHN \sim \Delta AHC(g.g)\)

\(\Rightarrow {{AH} \over {AC}} = {{AN} \over {AH}} \)

\(\Rightarrow A{H^2} = AN.AC\)

Mà \(A{H^2} = AM.AB\) (câu b) nên \(AN.AC = AM.AB \Rightarrow {{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\)

Xét ∆AMN và ∆ABC có: \({{AN} \over {AB}} = {{AM} \over {AC}}\) và \(\widehat {MAN}(chung)\)

Do đó \(\Delta AMN \sim \Delta ACB(c.g.c)\)

\(\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ACB}\)

Mà \(\widehat {AMN} = \widehat {EMB}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {EMB}\)

Xét ∆ENC và ∆EBM ta có: \(\widehat {MEB}\) (chung) và \(\widehat {NCB} = \widehat {EMB}\) (chứng minh trên)

Do đó \(\Delta ENC \sim \Delta EBM(g.g)\)

\(\Rightarrow {{EN} \over {EB}} = {{EC} \over {EM}}.\)

Vậy EN.EM=EB.EC

d) Xét tứ giác AMHN có: \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) (∆ABC vuông tại A),

\(\widehat {AMH} = 90^\circ (MH \bot AB\) tại M) và \(\widehat {ANH} = 90^\circ (NH \bot AC\) tại N)

Do đó tứ giác AMHN là hình chữ nhật => MN = AH

Xét ∆BMH và ∆AHC có: \(\widehat {BMH} = \widehat {AHC}( = 90^\circ )\) và \(\widehat {MHB} = \widehat {ACH}\) (hai góc so lê trong và MH // AC)

Do đó \(\Delta BMH \sim \Delta AHC(g.g)\)

\(\Rightarrow {{BM} \over {AH}} = {{MH} \over {HC}} \Rightarrow {{BM} \over {MH}} = {{AH} \over {HC}}\)

Mà AH = MN nên \({{BM} \over {MH}} = {{MN} \over {HC}}\)

Ta có: \(\widehat {BMN} + \widehat {AMN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\(\widehat {MHC} + \widehat {MHB} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Và \(\widehat {AMN} = \widehat {MHB}( = \widehat {ACB})\)

\(\Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {MHC}\)

Xét ∆BMN và ∆MHC có: \({{BM} \over {MH}} = {{MN} \over {HC}}\) và \(\widehat {BMN} = \widehat {MHC}\)

Do đó \(\Delta BMN \sim \Delta MHC(c.g.c)\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài