Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 8, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 8 Ôn tập chương 2 - Đa giác, diện tích đa giác

Bài tập 15 trang 174 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1


Giải bài tập Cho một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc và có độ dài là 10 cm. Tính diện tích của tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang.

Đề bài

Cho một hình thang cân có hai đường chéo vuông góc và có độ dài là 10 cm. Tính diện tích của tứ giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình thang.

Lời giải chi tiết

 

Cách 1:

Ta có \(AC \bot BD\,\left( {gt} \right)\)

Do đó \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD = {1 \over 2}.10.10 = 50\,\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Mà \({S_{BMN}} = {1 \over 2}{S_{ABN}}\,\,\left( {BM = {1 \over 2}AB} \right)\)

Và \({S_{ABN}} = {1 \over 2}{S_{ABC}}\,\,\left( {BN = {1 \over 2}BC} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{BMN}} = {1 \over 4}{S_{ABC}}\)

Tương tự: \({S_{DPQ}} = {1 \over 4}{S_{ACD}}\)

Do đó \({S_{BMN}} + {S_{DPQ}} = {1 \over 4}\left( {{S_{ABC}} + {S_{ACD}}} \right) \)\(\,= {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}.50 = 12,5\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tương tự \({S_{AMQ}} + {S_{CNP}} = 12,5\,\,c{m^2}\)

Vậy \({S_{MNPQ}} = {S_{ABCD}} - \left( {{S_{AMQ}} + {S_{CNP}} + {S_{BMN}} + {S_{DPQ}}} \right)\)\(\, = 50 - \left( {12,5 + 12,5} \right) = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Cách 2:

M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC (gt)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow MN//AC\) và \(MN = {{AC} \over 2}\,\,\left( 1 \right)\)

Q, P lần lượt là trung điểm của AD và CD (gt)

\( \Rightarrow QP\) là đường trung bình của tam giác ACD \( \Rightarrow QP//AC\) và \(QP = {{AC} \over 2}\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MN // QP và MN = QP

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành

Q, M lần lượt là trung điểm của AD và AB (gt)

\( \Rightarrow QM\) là đường trung bình của tam giác ADB \( \Rightarrow QM//BD\) và \(QM = {{BD} \over 2}\)

Ta có \(QM = {{BD} \over 2},\,\,MN = {{AC} \over 2}\)

Và \(AC = BD\) (Tứ giác ABCD là hình thang cân) do đó \(QM = MN\)

Ta có \(AC \bot BD\,\,\left( {gt} \right),\,\,\,QM//BD \Rightarrow QM \bot AC\)

Mà MN // AC nên \(QM \bot MN \Rightarrow \widehat {QMN} = {90^0}\)

Hình bình hành MNPQ có \(\widehat {QMN} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật

Mặt khác \(QM = MN\) nên MNPQ là hình vuông.

\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = M{N^2} = {\left( {{{AC} \over 2}} \right)^2} \)\(\,= {{A{C^2}} \over 4} = {{{{10}^2}} \over 4} = 25\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store