Bài 10 trang 113 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A, B. Biết OM = 2R.

Đề bài

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A, B. Biết OM = 2R.

a) Tính độ dài cung nhỏ cung AB

b) Tính diện tích giới hạn bởi hai đoạn MA, MB và cung nhỏ AB.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi C là trung điểm của OM, chứng minh tam giác OAC đều, tính \(\widehat {AOC}\) và suy ra số đo góc AOB.

Sử dụng công thức \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\).

b) Tính diện tích tứ giác OAMB và diện tích hình quạt OAB, từ đó suy ra diện tích hình cần tính.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi C là trung điểm của OM \( \Rightarrow OC = R \Rightarrow C \in \left( O \right)\).

Xét tam giác vuông OAM có: \(AC = \dfrac{1}{2}OM = R\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Xét tam giác OAC có: \(OA = OC = AC = R \Rightarrow \Delta OAC\) đều \( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^0}\).

Mà OM là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat {AOC} = {120^0}\).

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAM có:

\(AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow AM = BM = R\sqrt 3 \) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta OAM}} = \dfrac{1}{2}OM.AM = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,{S_{\Delta OBM}} = \dfrac{1}{2}OM.BM = \dfrac{1}{2}.R.R\sqrt 3  = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {S_{OAMB}} = {S_{\Delta OAM}} + {S_{\Delta OBM}} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{2} = {R^2}\sqrt 3 \end{array}\)

Diện tích hình quạt OAB là \({S_q} = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\)

Vậy diện tích giới hạn bởi hai đoạn MA, MB và cung nhỏ AB là:

\(S = {S_{OAMB}} - {S_q} = {R^2}\sqrt 3  - \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} = {R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right)\).

 Loigiaihay.com

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 3 - Hình học 9

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com