Bài 79 trang 17 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 79 trang 17 sách bài tập toán 9. Cho các số x và y có dạng..a1 căn 2+ a2...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho các số \(x\) và \(y\) có dạng: \(x = {a_1}\sqrt 2  + {b_1}\) và \(x = {a_2}\sqrt 2  + {b_2}\), trong đó \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ. Chứng minh: 

LG câu a

\(x + y\) và \(x . y\) cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với \(a\) và \(b\) là số hữu tỉ.

Phương pháp giải:

Biến đổi, nhóm các hạng tử để đưa về dạng \(a\sqrt 2  + b\) với \(a\) và \(b\) là số hữu tỉ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr 
& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} \)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}\) cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

\(\eqalign{
& xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr 
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} \)

\( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})\)

Vì \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) là các số hữu tỉ nên \({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}\), \(2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}\) cũng là số hữu tỉ. 

LG câu b

\( \displaystyle{x \over y}\) với \(y \ne 0\) cũng có dạng \(a\sqrt 2  + b\) với \(a\) và \(b\) là số hữu tỉ.    

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Với \(B> 0\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) 

Với \(B\ge 0,\, B\ne C^2\) ta có: \(\dfrac{A}{{\sqrt B  \pm C}} = \dfrac{{A(\sqrt B  \mp C)}}{{B - {C^2}}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr 
& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr} \)

\( \displaystyle = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2  + {a_2}{b_1}\sqrt 2  - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

\( \displaystyle = {{ {a_2}{b_1}\sqrt 2 - {a_1}{b_2}\sqrt 2  +2{a_1}{a_2}- {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

\( \displaystyle= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\)

Vì \(y \ne 0\) nên \({a_2}\) và \({b_2}\) không đồng thời bằng 0 

Suy ra: \(2{a_2}^2 - {b_2}^2\) \( \ne 0\)

(Nếu \(2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0\) thì  \( \displaystyle\sqrt 2 ={{{b_2}} \over {{a_2}}}\)  

Điều này mâu thuẫn với \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ)

Vậy \( \displaystyle{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\); \( \displaystyle{{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}\) đều là số hữu tỉ. 

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài