Bài 60 trang 98 SBT toán 8 tập 2


Đề bài

Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AK\) và \(CL\) cắt nhau tại \(O.\) Từ một điểm \(P\) bất kì trên cạnh \(AC\), vẽ các đường thẳng \(PE\) song song với \(AK,\) \(PF\) song song với \(CL\) (\(E\) thuộc \(BC,\) \(F\) thuộc \(AB\)). Các trung tuyến \(AK, CL\) cắt đoạn thẳng \(EF\) theo thứ tự tại \(M, N\).

Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)

Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)

Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\)  (1)

Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle  {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\)    (2)

Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\)    (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle\,\Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)

Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\)          (4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)

Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\)    (5)

Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\)  (6)

Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\)   (7)

Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)

Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\)                   (8)

Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF  \)

Ta có:

\(\eqalign{  & MN = EF - \left( {EN + FM} \right)  \cr  & \;\;\;\;\;\; \;\;= EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 3}EF \cr} \)

Vậy \(EN = MN = MF.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 59 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 59 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC, E thuộc AC)...

  • Bài 58 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 58 trang 98 sách bài tập toán 8. Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB ...

  • Bài 57 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 57 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD (M thuộc BC và N thuộc CD).

  • Bài 56 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 56 trang 98 sách bài tập toán 8. Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P...

  • Bài 55 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 55 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH.

  • Bài 54 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 54 trang 97 sách bài tập toán 8. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ...

  • Bài 53 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 53 trang 97 sách bài tập toán 8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12 cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD (h.38) ...

  • Bài 52 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 52 trang 97 sách bài tập toán 8. Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ....

  • Bài 51 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 51 trang 97 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC. a) Tìm trên cạnh AB điểm M sao cho AM/MB = 2/3 ...

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.