Bài 60 trang 98 SBT toán 8 tập 2


Giải bài 60 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK ...

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có hai trung tuyến \(AK\) và \(CL\) cắt nhau tại \(O.\) Từ một điểm \(P\) bất kì trên cạnh \(AC\), vẽ các đường thẳng \(PE\) song song với \(AK,\) \(PF\) song song với \(CL\) (\(E\) thuộc \(BC,\) \(F\) thuộc \(AB\)). Các trung tuyến \(AK, CL\) cắt đoạn thẳng \(EF\) theo thứ tự tại \(M, N\).

Chứng minh rằng các đoạn thẳng \(FM, MN, NE\) bằng nhau. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

Gọi \(Q\) là giao điểm của \(PF\) và \(AK,\) \(I\) là giao điểm của \(PE\) và \(CL.\)

Vì \(O\) là giao của hai đường trung tuyến \(AK, CL\) nên \(O\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Suy ra \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) và \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (tính chất trọng tâm)

Trong tam giác \(FPE\) có \( PE // AK\) hay \(QM // PE\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \( \displaystyle {{FQ} \over {FP}} = {{FM} \over {FE}}\)  (1)

Trong tam giác \(ALO\) có \(PF // CL\) hay \(FQ // LO\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle  {{AF} \over {AL}} = {{FQ} \over {LO}}\)    (2)

Trong tam giác \(ALC\) có \(PF // CL\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{AF} \over {AL}} = {{FP} \over {CL}}\)    (3)

Từ (2) và (3) suy ra \(\displaystyle{{FQ} \over {LO}} = {{FP} \over {CL}} \)\(\displaystyle\,\Rightarrow {{FQ} \over {FP}} = {{LO} \over {CL}}\)

Vì \(\displaystyle LO = {1 \over 3} CL\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{FQ} \over {FP}} = {1 \over 3}\)          (4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\displaystyle{{FM} \over {FE}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle\Rightarrow FM = {1 \over 3}FE\)

Trong tam giác \(EPF\) có \(PF // CL\) hay \(NI // PF\)

Theo định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {{EN} \over {EF}}\)    (5)

Trong tam giác \(CKO\) có \(EI // OK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle{{CE} \over {CK}} = {{EI} \over {KO}}\)  (6)

Trong tam giác \(CKA\) có \(PE // AK\)

Theo hệ quả định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{CE} \over {CK}} = {{EP} \over {AK}}\)   (7)

Từ (6) và (7) suy ra: \(\displaystyle {{EI} \over {OK}} = {{EP} \over {AK}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {{EI} \over {EP}} = {{OK} \over {AK}} \)

Vì \(OK = \displaystyle{1 \over 3}AK\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle{{EI} \over {EP}} = {1 \over 3}\)                   (8)

Từ (5) và (8) suy ra: \(\displaystyle {{EN} \over {EF}} = {1 \over 3} \)\(\,\displaystyle \Rightarrow EN = {1 \over 3}EF  \)

Ta có:

\(\eqalign{  & MN = EF - \left( {EN + FM} \right)  \cr  & \;\;\;\;\;\; \;\;= EF - \left( {{1 \over 3}EF + {1 \over 3}EF} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 3}EF \cr} \)

Vậy \(EN = MN = MF.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài