Bài 58 trang 98 SBT toán 8 tập 2


Đề bài

Giả sử \(AC\) là đường chéo lớn của hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(C\), vẽ đường vuông góc \(CE\) với đường thẳng \(AB\), đường vuông góc \(CF\) với đường thẳng \(AD\) (\(E,F \) thuộc phần kéo dài của các cạnh \(AB\) và \(AD\)). Chứng minh rằng: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Dựng \(BG ⊥ AC.\)

Xét \(∆ BGA\) và \(∆ CEA\) có:

+) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)

+) \(\widehat A\) chung

\( \Rightarrow  ∆ BGA\) đồng dạng \(∆ CEA \) (g.g)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\)

\(\Rightarrow AB.AE = AC.AG\)      (1)

Vì \(AD//BC\) nên \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\)  (cặp góc so le trong)

Xét \(∆ BGC\) và \(∆ CFA\) có:

+) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)

+) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt)

\(\Rightarrow ∆ BGC\) đồng dạng \(∆ CFA\) (g.g)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\)

\(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\)

Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(\Rightarrow AD.AF = AC.CG \)           (2)

Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:

\(AB.AE + AD.AF\)\(\, = AC.AG + AC.CG\)

\( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\(\,= AC\left( {AG + CG} \right)\)

Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 59 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 59 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC, E thuộc AC)...

  • Bài 60 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 60 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK ...

  • Bài 57 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 57 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD (M thuộc BC và N thuộc CD).

  • Bài 56 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 56 trang 98 sách bài tập toán 8. Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P...

  • Bài 55 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 55 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH.

  • Bài 54 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 54 trang 97 sách bài tập toán 8. Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ...

  • Bài 53 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 53 trang 97 sách bài tập toán 8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a = 12 cm, BC = b = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD (h.38) ...

  • Bài 52 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 52 trang 97 sách bài tập toán 8. Tứ giác ABCD có hai góc vuông tại đỉnh A và C, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ....

  • Bài 51 trang 97 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 51 trang 97 sách bài tập toán 8. Cho tam giác ABC. a) Tìm trên cạnh AB điểm M sao cho AM/MB = 2/3 ...

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.