Bài 17 trang 214 SBT đại số 10


Giải bài 17 trang 214 sách bài tập đại số 10. Chứng minh rằng...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng

LG a

\(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos \alpha }  + \sqrt {1 - \cos \alpha } }}{{\sqrt {1 + \cos \alpha }  - \sqrt {1 - \cos \alpha } }} \) \(= \cot (\dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{\pi }{4})\)     \((\pi  < \alpha  < 2\pi )\);

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {1 + \cos \alpha }  \) \(= \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2} - 1}  = \sqrt {2{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \) \(=  - \sqrt 2 \cos \dfrac{\alpha }{2}(do\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\alpha }{2} < \pi )\)

\(\sqrt {1 - \cos \alpha }  \) \( = \sqrt {1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)}  = \sqrt {2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \) \(= \sqrt 2 \sin \dfrac{\alpha }{2}\)

Suy ra

\(\dfrac{{\sqrt {1 + \cos \alpha }  + \sqrt {1 - \cos \alpha } }}{{\sqrt {1 + \cos \alpha }  - \sqrt {1 - \cos \alpha } }} \) \(= \dfrac{{ - \sqrt 2 \cos \dfrac{\alpha }{2} + \sqrt 2 \sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{ - \sqrt 2 \cos \dfrac{\alpha }{2} - \sqrt 2 \sin \dfrac{\alpha }{2}}}\)

\( = \dfrac{{\cos \dfrac{\alpha }{2} - \sin \dfrac{\alpha }{2}}}{{\cos \dfrac{\alpha }{2} + \sin \dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{1 - \tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan \dfrac{\alpha }{2}}} \) \(= \dfrac{{\tan \dfrac{\pi }{4} - \tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan \dfrac{\pi }{4}.\tan \dfrac{\alpha }{2}}}\) \(= \tan (\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\alpha }{2})\) \( = \tan \left[ {\dfrac{\pi }{2} - \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\alpha }{2}} \right)} \right]\)

\( = \cot (\dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{\pi }{4})\)

LG b

\(\dfrac{{\cos 4a\tan 2a - \sin 4a}}{{\cos 4a\cot 2a + \sin 4a}} =  - {\tan ^2}2a\);

Lời giải chi tiết:

\( = \dfrac{{\cos 4a\tan 2a - \sin 4a}}{{\cos 4a\cot 2a + \sin 4a}} \)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\cos 4a.\dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} - \sin 4a}}{{\cos 4a.\dfrac{{\cos 2a}}{{\sin 2a}} + \sin 4a}}\\ = \dfrac{{\cos 4a\sin 2a - \sin 4a\cos 2a}}{{\cos 2a}}:\dfrac{{\cos 4a\cos 2a + \sin 4a\sin 2a}}{{\sin 2a}}\\ = \dfrac{{\cos 4a\sin 2a - \sin 4a\cos 2a}}{{\cos 2a}}.\dfrac{{\sin 2a}}{{\cos 4a\cos 2a + \sin 4a\sin 2a}}\end{array}\)

\(= \dfrac{{\cos 4a\sin 2a - \sin 4a\cos 2a}}{{\cos 4a\cos 2a + \sin 4a\sin 2a}}.\tan 2a\)

=\(\dfrac{{ - \sin 2a}}{{\cos 2a}}\tan 2a =  - {\tan ^2}2a\).

LG c

\(1 + 2\cos 7a = \dfrac{{\sin 10,5a}}{{\sin 3,5a}}\);

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{\sin 10,5a}}{{\sin 3,5a}} = \dfrac{{\sin (7 + 3,5a)}}{{\sin 3,5a}} \) \(= \dfrac{{\sin 7a\cos 3,5a + \cos 7a\sin 3,5a}}{{\sin 3,5a}}\)

=\(\dfrac{{\sin 3,5a(2{{\cos }^2}3,5a + \cos 7a)}}{{\sin 3,5a}}\)

=\((2{\cos ^2}3,5a - 1) + 1 + cos7a\)

=\(2cos7a + 1.\)

LG d

\(\dfrac{{\tan 3a}}{{\tan a}} = \dfrac{{3 - {{\tan }^2}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{\tan (a + 2a)}}{{\tan a}} = \dfrac{{\tan a + \tan 2a}}{{\tan a(1 - {\mathop{\rm tanatan}\nolimits} 2a}} \) \(= \dfrac{{\tan a + \dfrac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}}}{{\tan a(1 - \dfrac{{2{{\tan }^2}a}}{{1 - {{\tan }^2}a}})}}\)

=\(\dfrac{{3 - {{\tan }^2}a}}{{1 - 3{{\tan }^2}a}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài