Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(O.\) Vẽ đường tròn \((O')\) có đường kính \(CB.\)

\(a)\) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau \(?\)

\(b)\) Kẻ dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(AC\) tại trung điểm \(H\) của \(AC.\) Tứ giác \(ADCE\) là hình gì \(?\) Vì sao\(?\)

\(c)\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, K\) thẳng hàng.

\(d)\) Chứng minh rằng \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu \(OO' = R – r\) thì đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong.

+) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

+) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.

+) Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm xác định được hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(O, O'\) và \(B\) thẳng hàng nên: \(O'B < OB\)\( ⇒ O'\) nằm giữa \(O\) và \(B\)

Ta có: \(OO' = OB - O'B\)

Vậy đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(B.\)

\(b)\) Xét đường tròn (O) có \(AB ⊥ DE\;\; (gt)\) mà AB là đường kính, DE là dây cung

Suy ra: \(HD = HE\) (đường kính vuông góc với dây cung)

Lại có:   \(HA = HC \;\;(gt)\)

Suy ra, tứ giác \(ADCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Lại có: \(AC ⊥ DE\)

Suy ra tứ giác \(ADCE\) là hình thoi.

\(c)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(D.\)

Suy ra: \(AD ⊥ BD\)

Tứ giác \(ADCE\) là hình thoi nên \(EC // AD\)

Suy ra: \( EC ⊥ BD \;\;\;           (1)\)

Tam giác \(BCK\) nội tiếp trong đường tròn \((O')\) có \(BC\) là đường kính nên vuông tại \(K.\)

Suy ra: \(CK ⊥ BD\;\;\;             (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(EC\) trùng với \(CK\)

Vậy \(E, C, K\) thẳng hàng.

\(d)\) Tam giác \(DEK\) vuông tại \(K\) có \(KH\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(DE\) nên:

\(HK = HE = \displaystyle{1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác \(EHK\) cân tại \(H\)

Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân)            \((3)\)

Ta có: \(O'K = O'C \) (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác \(O'CK\) cân tại \(O'\)

Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\) (tính chất tam giác cân)

Mà: \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\)    \( (4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HKO'} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)\( = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\)     \((5)\)

Tam giác \(CEH\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HEK} + \widehat {HCE} = 90^\circ \) \((6)\)

Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(\widehat {HKO'} = 90^\circ \) hay \(HK ⊥ KO'\) tại \(K\)

Vậy \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

  • Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.