Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho đoạn thẳng \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B.\) Vẽ về một phía của \(AB\) các nửa đường  tròn có đường kính theo thứ tự là \(AB, AC, CB.\) Đường vuông góc với \(AB\) tại \(C\) cắt nửa đường tròn lớn tại \(D.\) \(DA, DB\) cắt các nửa đường tròn có đường kính \(AC, CB\) theo thứ tự \(M, N.\)

\(a)\) Tứ giác \(DMCN\) là hình gì\(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Chứng minh hệ thức \(DM.DA = DN.DB.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(MN\) là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính \(AC\) và \(CB.\)

\(d)\) Điểm \(C\) ở vị trí nào trên \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất \(?\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với  hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MDN} = 90^\circ \)

Tam giác \(ACM\) nội tiếp đường tròn có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CM ⊥ AD ⇒\widehat {CMD} = 90^\circ \)

Tam giác \(BCN\) nội tiếp trong đường tròn có \(BC\) là đường kính nên \(\widehat {BNC} = 90^\circ \)

Suy ra: \(CN ⊥ BD ⇒ \widehat {CND} = 90^\circ \)

Tứ giác \(CMDN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

\(b)\) Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(CM ⊥ AD.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(C{D^2} = DM.DA\)    \((1)\)

Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) có \(CN ⊥  BD.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(C{D^2} = DN.DB\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(DM.DA = DN.DB\)

\(c)\) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC, Q\) là trung điểm của \(BC, I\) là giao điểm của \(MN\) với \(DC.\)

Vì \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(IC = IM = ID = IN\)

Tam giác \(CNI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICN} = \widehat {INC}\)   \((3)\)

Tam giác \(CNQ\) cân tại \(Q\) nên \(\widehat {QCN} = \widehat {QNC}\)   \((4)\)

Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {ICN} + \widehat {QCN} = 90^\circ \)    \((5)\)

Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {INC} + \widehat {QNC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ QN\)

Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC.\)

Tam giác \(CMI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICM} = \widehat {IMC}\)       \((6)\)

Tam giác \(CMP\) cân tại \(P\) nên \(\widehat {PCM} = \widehat {PMC}\)   \((7)\)

Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {PCM} + \widehat {ICM} = 90^\circ \) \( (8)\)

Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PMC} + \widehat {IMC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ PM\)

Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AC.\)

\(d)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\)

Tứ giác \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(CD = MN\)

Trong tam giác \(OCD\) ta có: \(CD  \le  OD\) nên \(MN  \le  OD\)

Vì \(OD\) không đổi nên \(MN = OD\) là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(C\) trùng với \(O.\)

Vậy \(C\) là trung điểm của \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

  • Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.