-
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 1
-
CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
- Bài 1. Căn bậc hai
- Bài 2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
- Bài 3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
- Bài 4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
- Bài 5. Bảng căn bậc hai
- Bài 6. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 7. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 8. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
- Bài 9. Căn bậc ba
- Ôn tập chương 1 - Căn bậc hai. Căn bậc ba
-
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
-
-
PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 1
-
CHƯƠNG 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
-
CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN
- Bài 1. Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
- Bài 2. Đường kính và dây của đường tròn
- Bài 3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Bài 4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Bài 5. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
- Bài 6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
- Bài 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Bài 8. Vị trí tương đối của hai đường tròn (tiếp theo)
- Ôn tập chương 2 - Đường tròn
-
-
PHẦN ĐẠI SỐ - SBT TOÁN 9 TẬP 2
-
CHƯƠNG 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
-
CHƯƠNG 4: HÀM SỐ y=ax^2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
- Bài 1. Hàm số bậc hai y=ax^2 (a ≠ 0)
- Bài 2. Đồ thị của hàm số bậc hai
- Bài 3. Phương trình bậc hai một ẩn
- Bài 4. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- Bài 5. Công thức nghiệm thu gọn
- Bài 6. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
- Bài 7. Phương trình quy về phương trình bậc hai
- Bài 8. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bài tập ôn chương 4 - Hàm số y=ax^2 (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn
-
-
PHẦN HÌNH HỌC - SBT TOÁN 9 TẬP 2
-
CHƯƠNG 3: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
- Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung
- Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3. Góc nội tiếp
- Bài 4. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
- Bài 5. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
- Bài 6. Cung chứa góc
- Bài 7. Tứ giác nội tiếp
- Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp
- Bài 9. Độ dài đường tròn, cung tròn
- Bài 10. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
- Bài tập ôn chương 3 - Góc với đường tròn
-
CHƯƠNG 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
-
Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1
Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...
Đề bài
Cho đoạn thẳng \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(B.\) Vẽ về một phía của \(AB\) các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là \(AB, AC, CB.\) Đường vuông góc với \(AB\) tại \(C\) cắt nửa đường tròn lớn tại \(D.\) \(DA, DB\) cắt các nửa đường tròn có đường kính \(AC, CB\) theo thứ tự \(M, N.\)
\(a)\) Tứ giác \(DMCN\) là hình gì\(?\) Vì sao \(?\)
\(b)\) Chứng minh hệ thức \(DM.DA = DN.DB.\)
\(c)\) Chứng minh rằng \(MN\) là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn có đường kính \(AC\) và \(CB.\)
\(d)\) Điểm \(C\) ở vị trí nào trên \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất \(?\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
+) Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Lời giải chi tiết
\(a)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MDN} = 90^\circ \)
Tam giác \(ACM\) nội tiếp đường tròn có \(AC\) là đường kính nên \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(CM ⊥ AD ⇒\widehat {CMD} = 90^\circ \)
Tam giác \(BCN\) nội tiếp trong đường tròn có \(BC\) là đường kính nên \(\widehat {BNC} = 90^\circ \)
Suy ra: \(CN ⊥ BD ⇒ \widehat {CND} = 90^\circ \)
Tứ giác \(CMDN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
\(b)\) Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\) có \(CM ⊥ AD.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(C{D^2} = DM.DA\) \((1)\)
Tam giác \(BCD\) vuông tại \(C\) có \(CN ⊥ BD.\)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(C{D^2} = DN.DB\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(DM.DA = DN.DB\)
\(c)\) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AC, Q\) là trung điểm của \(BC, I\) là giao điểm của \(MN\) với \(DC.\)
Vì \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(IC = IM = ID = IN\)
Tam giác \(CNI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICN} = \widehat {INC}\) \((3)\)
Tam giác \(CNQ\) cân tại \(Q\) nên \(\widehat {QCN} = \widehat {QNC}\) \((4)\)
Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {ICN} + \widehat {QCN} = 90^\circ \) \((5)\)
Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {INC} + \widehat {QNC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ QN\)
Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(BC.\)
Tam giác \(CMI\) cân tại \(I\) nên \(\widehat {ICM} = \widehat {IMC}\) \((6)\)
Tam giác \(CMP\) cân tại \(P\) nên \(\widehat {PCM} = \widehat {PMC}\) \((7)\)
Vì \(AB ⊥ CD\) nên \(\widehat {PCM} + \widehat {ICM} = 90^\circ \) \( (8)\)
Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PMC} + \widehat {IMC} = 90^\circ \) hay \(MN ⊥ PM\)
Vậy \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AC.\)
\(d)\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AB\)
Tứ giác \(CMDN\) là hình chữ nhật nên \(CD = MN\)
Trong tam giác \(OCD\) ta có: \(CD \le OD\) nên \(MN \le OD\)
Vì \(OD\) không đổi nên \(MN = OD\) là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(C\) trùng với \(O.\)
Vậy \(C\) là trung điểm của \(AB\) thì \(MN\) có độ dài lớn nhất.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1
- Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1
- Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1
- Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1
- Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
