Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(( AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có đường kính \(BC.\) Kẻ dây \(AD\) vuông góc với \(BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(DB\) và \(CA.\) Qua \(E\) kẻ đường  thẳng vuông góc với \(BC,\) cắt \(BC\) ở \(H,\) cắt \(AB\) ở \(F.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Tam giác \(EBF\) là tam giác cân ;

\(b)\) Tam giác \(HAF\) là tam giác cân ;

\(c)\) \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Xét đường tròn (O) có đường kính \(BC\bot AD\) tại I nên I là trung điểm của dây AD (định lý)

Suy ra \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)

Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)

Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)

Do đó \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\)

Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)

\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra \(HE = HF\)

Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)

\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\)    \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\)    \((3)\)

Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \)     \( (4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)

Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 8 phiếu
  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.