Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(( AB < AC)\) nội tiếp đường tròn \((O)\) có đường kính \(BC.\) Kẻ dây \(AD\) vuông góc với \(BC.\) Gọi \(E\) là giao điểm của \(DB\) và \(CA.\) Qua \(E\) kẻ đường  thẳng vuông góc với \(BC,\) cắt \(BC\) ở \(H,\) cắt \(AB\) ở \(F.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) Tam giác \(EBF\) là tam giác cân ;

\(b)\) Tam giác \(HAF\) là tam giác cân ;

\(c)\) \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

+) Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường phân giác, trung tuyến, trung trực.

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).

Xét đường tròn (O) có đường kính \(BC\bot AD\) tại I nên I là trung điểm của dây AD (định lý)

Suy ra \(BC\) là đường trung trực của \(AD\) nên theo tính chất đường trung trực ta có: \( BA = BD\)

Tam giác \(BAD\) cân tại \(B\) có \(BI ⊥ AD\) nên \(BI\) là tia phân giác của góc \(ABD.\)

Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)

Do đó \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\)

Tam giác \(EBF\) có \(BH\) là tia phân giác của góc \(EBF\) và \(BH ⊥ EF\) nên tam giác \(EBF\) cân tại \(B.\)

\(b)\) Tam giác \(EBF\) cân tại \(B\) có BH là đường cao nên BH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra \(HE = HF\)

Tam giác \(AEF\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(HA = HE = HF = \displaystyle {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác \(AHF\) cân tại \(H.\)

\(c)\) Tam giác \(AHF\) cân tại \(H\) nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) \((1)\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\)    \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB}\)\( = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\)    \((3)\)

Tam giác \(BHF\) vuông tại \(H\) nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \)     \( (4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay \(HA ⊥ AO\)

Vậy \(HA\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

  • Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài