Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(DE, D ∈ (O),\) \(E ∈ (O’).\)  Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A,\) cắt \(DE\) ở \(I.\) Gọi \(M\) là giao điểm của \(OI\) và \(AD,\) \(N\) là giao điểm của \(O’I\) và \(AE.\)

\(a)\) Tứ giác \(AMIN\) là hình gì \(?\) Vì sao \(?\)

\(b)\) Chứng minh hệ thức \(IM.IO = IN.IO’.\)

\(c)\) Chứng minh rằng \(OO’\) là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là \(DE.\)

\(d)\) Tính độ dài \(DE\) biết rằng \(OA = 5cm,\)\( O’A = 3,2cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: 

\(*\)) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+)  Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

\(*\)) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

\(*\)) Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

+) Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

+) Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((O)\) ta có \(OI\) là tia phân giác của góc \(AID\) ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

Trong đường tròn \((O’)\) ta có \(O’I\) là tia phân giác của góc \(AIE\) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

Mà góc \(AID\) và góc \(AIE\) là hai góc kề bù nên \(IO ⊥ IO'\) ( tính chất hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {OIO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MIN} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O) có \(IA = ID \) ((tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và ID)

Suy ra tam giác \(ADI\) cân tại \( I.\)

Tam giác \(ADI\) cân tại I có \(IO\) là phân giác của góc \(AID\) nên \(IO\) cũng là đường cao của tam giác \(AID.\)

Suy ra: \(IO ⊥ AD\) hay \(\widehat {AMI} = 90^\circ \)

Xét đường tròn (O') có \(IA = IE\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau IA và IE)

Suy ra tam giác \(AEI\) cân tại \( I.\)

Tam giác cân \(AIE\) có \(IO'\) là phân giác của góc \(AIE\) nên \(IO'\) cũng là đường cao của tam giác \(AIE.\)

Suy ra: \(IO' ⊥ AE\) hay \(\widehat {ANI} = 90^\circ \)

Tứ giác \(AMIN\) có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

\(b)\) Tam giác \(AIO\) vuông tại \(A\) có \(AM ⊥ IO.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO\), ta có: 

\(IA^2= IM.IO         \;\;\;      (1)\)

Tam giác \(AIO'\) vuông tại \(A\) có \(AN ⊥ IO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AIO'\) , ta có:

\(IA^2= IN.IO'          \;\;\;      (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(IM.IO = IN.IO'\)

\(c)\) Ta có: \(IA = ID\) và \(IA = IE \) ( chứng minh trên) nên \(IA=ID=IE=\dfrac{DE}2\)

Suy ra \(A\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(DE.\)

Vì \(OO' ⊥ IA\) tại \(A\) nên \(OO'\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\displaystyle \left( {I;{{DE} \over 2}} \right).\)

\(d)\) Tam giác \(O'IO\) vuông tại \(I\) có \(IA ⊥ OO'.\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(O'IO\), ta có:

\( IA^2= OA.O'A = 5.3,2 = 16\)

Suy ra: \(IA = 4 (cm).\)

Mà \(IA=\dfrac{DE}2\Rightarrow DE = 2IA\) nên \(DE = 2.4 = 8 (cm).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 14 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.