Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Gọi \(M\) là điểm thuộc nửa đường tròn, \(D\) là giao điểm của \(AM\) và \(By,\) \(C\) là giao điểm của \(BM\) và \(Ax,\) \(E\) là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AC.BD = AB^2;\)

\(b)\) \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(a)\) Chứng minh hai tam giác đồng dạng để thiết lập tỉ số giữa các cạnh, từ đó chứng minh được biểu thức đề bài đưa ra.

\(b)\) Theo tính chất của tiếp tuyến, ta phải chứng minh được \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Áp dụng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với canh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. 

Từ đó ta tìm các góc bằng nhau, thiết lập mối liên hệ giữa chúng.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}=90^0\) (1)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M.

Suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) ( cùng phụ với \(\widehat {{A_1}}\)).

Xét \(∆ABC\) và \(∆BDA\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆BDA \;\;(g.g)\) suy ra:

\(\displaystyle{{AB} \over {BD}} = {{AC} \over {BA}} \)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ), do đó \(AC . BD = AB^2\)

\(b)\) Vì tam giác AMB vuông tại M (cmt) nên \(AD\bot BM\) 

Suy ra tam giác BMD vuông tại M.

Ta có \(∆MBD\) vuông tại M có ME là đường trung tuyến nên \(ED = EM = EB\)

 Suy ra \(∆EBM\) cân tại E nên \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{B_2}}\)\((1)\)

Lại có \(∆MOB\) cân tại \(O\) (do \(OM=OB)\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra

\(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}}\) = \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\) \(=\widehat {{OBD}}=90^\circ \)

Hay \(\widehat {{OME}}=90^0\) tức là \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Vậy \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

  • Bài 2.3 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.3 trang 173 phần bài tập bổ sung sách bài tập toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Gọi xy là tiếp tuyến với đường tròn tại A. Từ một điểm M nằm trên xy, vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB...

  • Bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 2.1 phần bài tập bỏ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều bằng:...

  • Bài 88 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 88 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H)...

  • Bài 87 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 87 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R')...

  • Bài 86 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 86 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB...

  • Bài 85 trang 172 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 85 trang 172 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM...

  • Bài 84 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 84 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:...

  • Bài 83* trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 83* trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B, OO' = 3cm. Qua A kẻ một đường thẳng cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại E và F ( A nằm giữa E và F). Tính xem đoạn thẳng EF có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

  • Bài 82 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 82 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE, D ∈ (O), E ∈ (O’). Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt DE ở I. Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao điểm của O’I và AE...

  • Bài 81 trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 81 trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại D. DA, DB cắt các nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ tự M, N...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.