Bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 2.2 phần bài tập bổ sung trang 173 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm thuộc nửa đường tròn, D là giao điểm của AM và By, C là giao điểm của BM và Ax, E là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho nửa đường tròn \((O)\) đường kính \(AB.\) Trên nửa mặt phẳng bờ \(AB\) chứa nửa đường tròn, vẽ các tia tiếp tuyến \(Ax\) và \(By\) với nửa đường tròn. Gọi \(M\) là điểm thuộc nửa đường tròn, \(D\) là giao điểm của \(AM\) và \(By,\) \(C\) là giao điểm của \(BM\) và \(Ax,\) \(E\) là trung điểm của BD. Chứng minh rằng:

\(a)\) \(AC.BD = AB^2;\)

\(b)\) \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(a)\) Chứng minh hai tam giác đồng dạng để thiết lập tỉ số giữa các cạnh, từ đó chứng minh được biểu thức đề bài đưa ra.

\(b)\) Theo tính chất của tiếp tuyến, ta phải chứng minh được \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Áp dụng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với canh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. 

Từ đó ta tìm các góc bằng nhau, thiết lập mối liên hệ giữa chúng.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét tam giác ABD vuông tại B có \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_1}}=90^0\) (1)

Tam giác AMB nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M.

Suy ra \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}}=90^0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) ( cùng phụ với \(\widehat {{A_1}}\)).

Xét \(∆ABC\) và \(∆BDA\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)

Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆BDA \;\;(g.g)\) suy ra:

\(\displaystyle{{AB} \over {BD}} = {{AC} \over {AB}}\), do đó \(AC . BD = AB^2\)

\(b)\) Vì tam giác AMB vuông tại M (cmt) nên \(AD\bot BM\) 

Suy ra tam giác BMD vuông tại M.

Ta có \(∆MBD\) vuông tại M có ME là đường trung tuyến nên \(ED = EM = EB\)

 Suy ra \(∆EBM\) cân tại E nên \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{B_2}}\)\((1)\)

Lại có \(∆MOB\) cân tại \(O\) (do \(OM=OB)\) nên \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{B_1}}\) \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra

\(\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}}\) = \(\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_2}}\) \(=\widehat {{OBD}}=90^\circ \)

Hay \(\widehat {{OME}}=90^0\) tức là \(ME ⊥ OM\) tại \(M.\)

Vậy \(ME\) là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 2 - Đường tròn

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài