Bài 71 trang 113 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 71 trang 113 sách bài tập toán 9. Trong một tam giác đều ABC...

Đề bài

Trong một tam giác đều \(ABC\; (h.13),\) vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng \(a,\) tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Diện tích hình quạt tròn bán kính \(R,\) cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(S=\dfrac{\pi R^2n}{360}\).

Lời giải chi tiết

Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích \(3\) hình viên phân trừ diện tích tam giác đều \(ABC.\)

Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\)

\( \Rightarrow OA = OB = OC\)

Vì \(∆ABC\) đều nên \(AO,\) \(BO,\) \(CO\) là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

\(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \displaystyle {{{{60}^\circ}} \over 2} = {30^\circ}\)

\(\widehat {AOC} = {180^\circ} - \left( {{{30}^\circ} + {{30}^\circ}} \right) = {120^\circ}\)

Trong tam giác \(O’HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\), \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)

\(AH = R.\sin \widehat {HO'A}\)\( = R. \sin 60^\circ= \displaystyle {{R\sqrt 3 } \over 2}\)

\(AC=2AH=R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow R =\displaystyle  {\displaystyle {AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(S_{quạt}=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\left( {{\displaystyle {a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\)

     \(=\displaystyle {{\pi \displaystyle {{\displaystyle {a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích)

\(∆O'HA\) có \(\widehat {O'HA} = {90^\circ}\); \(\widehat {HO'A} = {60^\circ}\)

\(O'A=R.\cos {60^\circ} = \displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)

\(S_{\Delta O'CA}=\displaystyle {1 \over 2}O'H.AC \)\(\displaystyle = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích)

Diện tích hình viên phân:

\(S_{vp}=S_{quạt}-S_{\Delta O'CA}\) \(= \displaystyle {{\pi {a^2}} \over 9} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\)

Diện tích tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a:\)  \(S_{ABC}= \dfrac{a^2\sqrt 3 } {4}\) (đơn vị diện tích)

Diện tích hình hoa thị là:

\(S=3S_{vp}-S_{ABC}\)\(= \displaystyle 3.{{4\pi {R^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)

\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} - {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)

\(= \displaystyle {{4\pi {a^2} - 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)\) (đơn vị diện tích)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài