Bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm \(M\) trong tam giác sao cho \(MA + MB + MC\) nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong tam giác đều, mỗi góc đều bằng \(60^\circ.\)

+) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \( \widehat{ABD}+\widehat{DBC}=180^\circ\) thì \(A,B,C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Trong \(∆ABC\) ta lấy điểm \(M.\) Nối \(MA, MB, MC.\)

Ta cần làm xuất hiện tổng \(MA + MB + MC\) sau đó tìm điều kiện để tổng đó nhỏ nhất.

Lấy \(MC\) làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(A\) tam giác đều \(MCN.\) Suy ra: \(CM = MN.\)

Lấy \(AC\) làm cạnh dựng trên nửa mặt phẳng bờ \(AC\) không chứa điểm \(B\) tam giác đều \(APC.\)

Ta có:

\(\widehat {MCA} + \widehat {ACN} = \widehat {MCN}=60^\circ \)

\(\widehat {ACN} + \widehat {NCP} =\widehat {ACP}= 60^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {NCP}\)

Xét \(∆AMC\) và \(∆PNC:\)

+) \(CM = CN\) (vì \(∆MCN\) đều)

+) \(\widehat {MCA} = \widehat {NCP}\) (chứng minh trên)

+) \( CA = CP\) (vì \(∆APC\) đều)

Suy ra: \(∆AMC = ∆PNC\;\; (c.g.c)\)

\( \Rightarrow PN = AM\)

\( MA + MB + MC = NP + MB + MN\)

Ta có \(∆ABC\) cho trước nên điểm \(P\) cố định nên \(BM + MN + NP\) ngắn nhất khi \(4\) điểm \(B, M, N, P\) thẳng hàng.

Vì \(\widehat {CMN} = 60^\circ \) nên \(3\) điểm \(B, M, N\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \)

Vì \(\widehat {CNM} = 60^\circ \) nên \(3\) điểm \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\widehat {CNP} = 120^\circ \)

Mà \(∆AMC = ∆PNC\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {AMC} = \widehat {PNC} = 120^\circ \)

Vậy \(MA + MB + MC\) bé nhất khi và chỉ khi \(\widehat {BMC} = 120^\circ \) và \(\widehat {AMC} = 120^\circ \)

Vậy \(M\) là giao điểm của \(2\) cung chứa góc \(120^\circ \) dựng trên \(BC\) và \(AC.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.
Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng một cung chứa góc 600 trên đoạn thẳng AB cho trước.
Bài 38 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 38 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD.
Bài 37 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 37 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài 36 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 36 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB...
Bài 35 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 35 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm,...
Bài 34 trang 105 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 34 trang 105 sách bài tập toán 9. Dựng cung chứa góc 42 độ trên đoạn thẳng AB = 3 cm.
Bài 33 trang 105 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 33 trang 105 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và ...