Bài 33 trang 105 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 33 trang 105 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và ...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có cạnh \(BC\) cố định và \(\widehat A = \alpha \) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(\tau\) là một hình \({\rm H}\) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\tau\) đều thuộc hình \(\rm H.\)

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \(\rm H\) đều có tính chất \(\tau.\)

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm \(M\) có tính chất \(\tau\) là hình \(\rm H.\)

(Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \(\rm H\) trước khi chứng minh: Tập hợp các điểm \(M\) tạo với hai mút của đoạn thẳng \(AB\) cho trước một góc \(AMB\) bằng \(\alpha\) \((\alpha\) không đổi \()\) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \(AB\) (gọi là cung chứa góc \(\alpha\) vẽ trên đoạn \(AB\))).

Lời giải chi tiết

Chứng minh thuận:

Gọi \(I\) là giao điểm \(3\) đường phân giác trong của \(∆ABC\)

\(\widehat {IBC} =\displaystyle {{\widehat B} \over 2};\) \(\widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat C} \over 2}\)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} = \displaystyle {{\widehat B + \widehat C} \over 2}\) mà trong \(∆ABC\) ta có: \(\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - \alpha \)

Suy ra: \(\widehat {IBC} + \widehat {ICB} =\displaystyle {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)

Trong \(∆BIC\) ta có: \(\widehat {BIC} = 180^\circ - (\widehat {IBC} + \widehat {ICB})\)

Suy ra: \(\widehat {BIC} = \displaystyle 180^\circ - {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)\( = \displaystyle {{360^\circ - 180^\circ + \alpha } \over 2}\)\( =\displaystyle 90^\circ + {\alpha \over 2}\)

Do \(\widehat Α=\alpha\) không đổi \( \Rightarrow \widehat {BIC} = 90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) không đổi.

Vì \(I\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn \(BC\) cố định một góc bằng \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) không đổi

Do đó, \(I\) nằm trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)

Chứng minh đảo: Trên cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) lấy điểm \(I’ \) bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ \(BC\) chứa điểm \(I’\) hai tai \(Bx\) và \(Cy\) sao cho \(BI’\) là phân giác của \(\widehat {CBx},CI'\) là phân giác của \(\widehat {BCy}\).

\(Bx\) cắt \(Cy\) tại \(A'.\)

Trong \(∆BI'C\) ta có: \(\widehat {BI'C} = 90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\)

\( \Rightarrow \widehat {I'BC} + \widehat {I'CB} = 180^\circ - \widehat {BI'C}\)\( =\displaystyle 180^\circ - \left( {90^\circ + {\alpha \over 2}} \right)\)\( = \displaystyle {{180^\circ - \alpha } \over 2}\)

\(\widehat {CBA'} = 2\widehat {I'BC};\widehat {BCA'} = 2\widehat {I'CB}\)

\( \Rightarrow \widehat {CBA'} + \widehat {BCA'} =\displaystyle 2.{{180^\circ - \alpha } \over 2} \)\(= 180^\circ - \alpha \)

Trong \(∆A'BC\) ta có:

\(\widehat {BA'C} = 180^\circ - (\widehat {CBA'} + \widehat {BCA'}) \)\(= 180^\circ - (180^\circ - \alpha ) = \alpha \)

Kết luận: Vậy quỹ tích giao điểm \(3\) đường phân giác trong \(∆ABC\) khi \(\widehat A = \alpha \) không đổi, \(BC\) cố định là \(2\) cung chứa góc \(90^\circ + \displaystyle {\alpha \over 2}\) vẽ trên \(BC.\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 34 trang 105 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 34 trang 105 sách bài tập toán 9. Dựng cung chứa góc 42 độ trên đoạn thẳng AB = 3 cm.
Bài 35 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 35 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm,...
Bài 36 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 36 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB...
Bài 37 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 37 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Bài 38 trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 38 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD.
Bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng một cung chứa góc 600 trên đoạn thẳng AB cho trước.
Bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.
Bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 106 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.