
Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\) và \(C\) là một điểm trên nửa đường tròn. Trên bán kính \(OC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OD\) bằng khoảng cách \(CH\) từ \(C\) đến \(AB.\) Tìm quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(\tau\) là một hình \({\rm H}\) nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\tau\) đều thuộc hình \(\rm H.\)
Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình \(\rm H\) đều có tính chất \(\tau.\)
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm \(M\) có tính chất \(\tau\) là hình \(\rm H.\)
Thông thường với bài toán "Tìm quỹ tích..." ta nên dự đoán hình \(\rm H\) trước khi chứng minh:
+)Tập hợp các điểm \(M\) tạo với hai mút của đoạn thẳng \(AB\) cho trước một góc \(AMB\) bằng \(\alpha\) \((\alpha\) không đổi \()\) là hai cung tròn đối xứng với nhau qua \(AB\) (gọi là cung chứa góc \(\alpha\) vẽ trên đoạn \(AB\)).
+)Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng \(AB\) cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\).
Lời giải chi tiết
Chứng minh thuận:
Từ \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(P.\) \(O\) cố định, đường tròn đường kính \(AB\) cố định suy ra \(P\) cố định.
Nối \(PD.\) Ta có: \(OP // CH\) (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với \(AB\))
Xét \(∆OCH\) và \(∆OPD\) có:
+) \(OD = CH (gt)\)
+) \(\widehat {POD} = \widehat {OCH}\) (so le trong)
+) \(OP = OC\) (bán kính)
Suy ra: \(∆DOP = ∆HCO (c.g.c)\)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {ODP} = \widehat {CHO}\) mà \(\widehat {CHO} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ODP} = 90^\circ \)
Khi \(C \) chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) thì \(D\) thay đổi tạo với \(2\) đầu đoạn thẳng \(OP\) cố định một góc \(\widehat {OPD} = 90^\circ \). Vậy \(D\) chuyển động trên đường tròn đường kính \(OP.\)
Chứng minh đảo:
Lấy điểm \(D'\) bất kỳ trên đường tròn đường kính \(OP.\) Kẻ \(OD'\) cắt nửa đường tròn đường kính \(AB\) tại \(C',\) kẻ \(C'H'⊥ AB\) ta phải chứng minh \(OD' = C'H'.\)
Nối \(PD'.\)
Xét \(∆C'H'O\) và \(∆PD'O\) có:
+) \(\widehat {C'H'O} = \widehat {PD'O} = 90^\circ \)
+) \(OC' = OP\) (bán kính đường tròn tâm \(O\))
+) \(\widehat {D'OP} = \widehat {OC'H'}\) (so le trong)
Suy ra: \(∆C'H'O = ∆PD'O\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow C'H' = OD'\)
Vậy quỹ tích các điểm \(D\) khi \(C\) chuyển động trên nửa đường tròn đường kính \(AB\) là đường tròn đường kính \(OP.\)
Loigiaihay.com
Giải bài 38 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng hình vuông ABCD, biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC và điểm N thuộc cạnh CD.
Giải bài 6.1 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng một cung chứa góc 600 trên đoạn thẳng AB cho trước.
Giải bài 6.2 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A (khác O) ở trong đường tròn đó.
Giải bài 6.3 phần bài tập bổ sung trang 106 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.
Giải bài 36 trang 106 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB...
Giải bài 35 trang 106 sách bài tập toán 9. Dựng tam giác ABC, biết BC = 3 cm,...
Giải bài 34 trang 105 sách bài tập toán 9. Dựng cung chứa góc 42 độ trên đoạn thẳng AB = 3 cm.
Giải bài 33 trang 105 sách bài tập toán 9. Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và ...
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: