Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài 8. Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Bài 51 trang 108 SBT toán 9 tập 2


Đề bài

Cho ngũ giác đều \(ABCDE.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE.\) Chứng minh \(D{I^2} = AI.AD\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác đều \(n\) cạnh bằng \(\dfrac{360^\circ}{n}.\)

+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều \(ABCDE\) 

\(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{CD}\)\(= sđ \overparen{DE} = sđ \overparen{AE}=\dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ\)\(\;\;                (1)\)

\(\widehat {{E_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp)   \(  (2)\)

\(\widehat {{D_1}} =  \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AE}\) (tính chất góc nội tiếp)   \(        (3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\)

Xét \(∆AIE\) và \(∆AED:\)

+) \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat A\) chung

Suy ra: \(∆AIE\) đồng dạng \(∆AED (g.g)\)

Do đó: \( \displaystyle {{AI} \over {AE}} = \displaystyle{{AE} \over {AD}}\)

\( \Rightarrow \) \(AE^2= AI. AD    \)\(\;\; (*)\)

Lại có: \(\widehat {{E_2}} = \displaystyle  {1 \over 2}sđ \overparen{BCD}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {{E_2}} =  \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}\)) \(\;\;           (4)\)

\(\widehat {{I_1}} =  \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DE} + sđ \overparen{AB}\)) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn)  \(                               (5)\)

Từ \((1),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\)

\( \Rightarrow \) \(∆DEI\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow DE = DI\)

          \(     DE = AE\;\; (gt)\)

Suy ra:\(DI = AE \;\;   (**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra:\( DI^2= AI. AD\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua