Bài 51 trang 108 SBT toán 9 tập 2

Giải bài 51 trang 108 sách bài tập toán 9. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE...

Đề bài

Cho ngũ giác đều \(ABCDE.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE.\) Chứng minh \(D{I^2} = AI.AD\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

+) Số đo góc ở tâm chắn mỗi cạnh của đa giác đều \(n\) cạnh bằng \(\dfrac{360^\circ}{n}.\)

+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)

+) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Lời giải chi tiết

Vẽ đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều \(ABCDE\)

\(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{BC} = sđ \overparen{CD}\)\(= sđ \overparen{DE} = sđ \overparen{AE}=\dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ\)\(\;\; (1)\)

\(\widehat {{E_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AB}\) (tính chất góc nội tiếp) \( (2)\)

\(\widehat {{D_1}} = \displaystyle {1 \over 2} sđ \overparen{AE}\) (tính chất góc nội tiếp) \( (3)\)

Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\)

Xét \(∆AIE\) và \(∆AED:\)

+) \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat A\) chung

Suy ra: \(∆AIE\) đồng dạng \(∆AED (g.g)\)

Do đó: \( \displaystyle {{AI} \over {AE}} = \displaystyle{{AE} \over {AD}}\)

\( \Rightarrow \) \(AE^2= AI. AD \)\(\;\; (*)\)

Lại có: \(\widehat {{E_2}} = \displaystyle {1 \over 2}sđ \overparen{BCD}\) (tính chất góc nội tiếp) hay \(\widehat {{E_2}} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{CD}\)) \(\;\; (4)\)

\(\widehat {{I_1}} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ \overparen{DE} + sđ \overparen{AB}\)) (tính chất góc có đỉnh ở trong đường tròn) \( (5)\)

Từ \((1),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{I_1}}\)

\( \Rightarrow \) \(∆DEI\) cân tại \(D\) \( \Rightarrow DE = DI\)

\( DE = AE\;\; (gt)\)

Suy ra:\(DI = AE \;\; (**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra:\( DI^2= AI. AD\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 109 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 109 sách bài tập toán 9. Mỗi câu sau đây đúng hay sai?...
Bài 8.2 phần bài tập bổ sung trang 109 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 8.2 phần bài tập bổ sung trang 109 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn đó...
Bài 50 trang 108 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 50 trang 108 sách bài tập toán 9. Tính các cạnh của tam giác ABC và đường cao AH của nó theo R.
Bài 49 trang 108 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 49 trang 108 sách bài tập toán 9. Tính cạnh của hình tám cạnh đều theo bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.
Bài 48 trang 108 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 48 trang 108 sách bài tập toán 9. a) Tính cạnh của một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 3cm...
Bài 47 trang 108 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 47 trang 108 sách bài tập toán 9. a) Vẽ một lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm rồi vẽ hình 12 cạnh đều AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ...
Bài 46 trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 46 trang 107 sách bài tập toán 9. Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.
Bài 45 trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 45 trang 107 sách bài tập toán 9. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm rồi vẽ hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn (O; 2 cm). Nêu cách vẽ.
Bài 44 trang 107 SBT toán 9 tập 2
Giải bài 44 trang 107 sách bài tập toán 9. Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm. Nêu cách vẽ.