Bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 sách bài tập toán 9. Giải hệ phương trình: a) 3/x + 5/y = - 3/2 và 5/x - 2/y = 8/3; b) 2/(x + y - 1) - 4/(x - y + 1) = -14/5 và 3/(x + y - 1) + 2/(x - y + 1) = -13/ 5; ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bài 4.1

Giải các hệ phương trình:

\(a)\left\{ {\matrix{ \displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\).

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr 
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr 
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr 
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{6a + 10.\displaystyle\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr 
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (3; -2)\).

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr 
{6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{  3.(-1) + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}  \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr 
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (2; -2).\)

Bài 4.2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

\(a)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M(-3; 1)\) và \(N(1; 2)\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\)

\(c)\) Đồ thị đi qua điểm \(M(-2; 9)\) và cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b,\) trong đó \(a, b\) là những số cho trước và \(a  \ne 0.\)

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lời giải chi tiết:

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\) \( (a \ne 0).\)

\(a)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-3; 1)\)  nên ta có \(1 = -3a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(1; 2)\) nên ta có \(2 = a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 3a + b = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 4}} \cr 
{\displaystyle{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a =\displaystyle {1 \over 4}} \cr 
{b =\displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\displaystyle {1 \over 4}\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \displaystyle{1 \over 4}x + {7 \over 4}.\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) nên ta có \(1 = a\sqrt 2  + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\) nên ta có \(3\sqrt 2  - 1 = 3a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr 
{3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr
} } \right.  \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 - 2} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\sqrt 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \sqrt 2 x - 1\)

\(c)\) Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm \(N\) có hoành độ bằng \(2\) nên \(N(2;y)\).

Điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) nên ta có \(3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow  - 5y =  - 5 \Leftrightarrow y = 1\)

Suy ra \(N( 2; 1.)\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-2; 9)\)  nên ta có \(9 = -2a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(2; 1)\) nên ta có \(1 =2a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 2a + b = 9} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a = - 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=- 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - 2x + 5.\)

Bài 4.3

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt 

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ. 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne  - y;y \ne  - z;z \ne  - x\)

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \(x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\) \((a,b,c \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

\(\left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{b + c = \displaystyle{5 \over 6}} \cr 
{c + a =\displaystyle {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:

\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr 
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr 
& \Rightarrow a = \left( {a + b + c} \right) - \left( {b + c} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr 
& b = \left( {a + b + c} \right) - \left( {c + a} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr 
& c = \left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)

Ta thấy \(a=1;b=\displaystyle {1 \over 2};c={1 \over 3}\) thoả mãn điều kiện \(a,b,c \ne 0\).

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = 2} \cr 
{z = 3} \cr} } \right. \text{(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y; z) = (1; 2; 3).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>  Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài