Bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 12, 13 sách bài tập toán 9. Giải hệ phương trình: a) 3/x + 5/y = - 3/2 và 5/x - 2/y = 8/3; b) 2/(x + y - 1) - 4/(x - y + 1) = -14/5 và 3/(x + y - 1) + 2/(x - y + 1) = -13/ 5; ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bài 4.1

Giải các hệ phương trình:

\(a)\left\{ {\matrix{ \displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle {{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số)

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

\(a)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle {{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\).

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b \ \) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{5a - 2b = \displaystyle{8 \over 3}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr 
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr 
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr 
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{6a + 10.\displaystyle\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = -\displaystyle {1 \over 2}} \cr 
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (3; -2)\).

\(b)\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr 
\displaystyle{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)

Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - \displaystyle{{14} \over 5}} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = -\displaystyle {{14} \over 5}} \cr 
{6a + 4b = - \displaystyle{{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr 
{3a + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{  3.(-1) + 2b = - \displaystyle{{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}  \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr 
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr 
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (2; -2).\)

Bài 4.2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

\(a)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M(-3; 1)\) và \(N(1; 2)\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\)

\(c)\) Đồ thị đi qua điểm \(M(-2; 9)\) và cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm có hoành độ bằng \(2.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức \(y = ax + b,\) trong đó \(a, b\) là những số cho trước và \(a  \ne 0.\)

- Đường thẳng \(ax+by=c\) đi qua điểm \(M(x_0;y_0)\) \( \Leftrightarrow ax_0+by_0=c\).

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lời giải chi tiết:

Hàm số bậc nhất có dạng \(y = ax + b\) \( (a \ne 0).\)

\(a)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-3; 1)\)  nên ta có \(1 = -3a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(1; 2)\) nên ta có \(2 = a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 3a + b = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr 
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 4}} \cr 
{\displaystyle{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a =\displaystyle {1 \over 4}} \cr 
{b =\displaystyle {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\displaystyle {1 \over 4}\) thoả mãn điều kiện \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \displaystyle{1 \over 4}x + {7 \over 4}.\)

\(b)\) Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) nên ta có \(1 = a\sqrt 2  + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N\left( {3;3\sqrt 2  - 1} \right)\) nên ta có \(3\sqrt 2  - 1 = 3a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr 
{3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr
} } \right.  \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 - 2} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \cr 
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr 
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=\sqrt 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = \sqrt 2 x - 1\)

\(c)\) Do đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) cắt đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) tại điểm \(N\) có hoành độ bằng \(2\) nên \(N(2;y)\).

Điểm \(N\) nằm trên đường thẳng \((d): 3x – 5y = 1\) nên ta có \(3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow  - 5y =  - 5 \Leftrightarrow y = 1\)

Suy ra \(N( 2; 1.)\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M(-2; 9)\)  nên ta có \(9 = -2a + b\)

Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua điểm \(N(2; 1)\) nên ta có \(1 =2a + b\)

Khi đó \(a\) và \(b\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 2a + b = 9} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr 
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{2a = - 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr 
{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \)

Ta thấy \(a=- 2\) thoả mãn điều kiện  \( a \ne 0\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y =  - 2x + 5.\)

Bài 4.3

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt 

+ Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ. 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne  - y;y \ne  - z;z \ne  - x\)

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \(x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr 
\displaystyle{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\) \((a,b,c \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình trên trở thành:

\(\left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{3 \over 2}} \cr 
{b + c = \displaystyle{5 \over 6}} \cr 
{c + a =\displaystyle {4 \over 3}} \cr} } \right.\)

Cộng từng vế của ba phương trình trong hệ ta được:

\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr 
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr 
& \Rightarrow a = \left( {a + b + c} \right) - \left( {b + c} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr 
& b = \left( {a + b + c} \right) - \left( {c + a} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr 
& c = \left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right) \cr& = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)

Ta thấy \(a=1;b=\displaystyle {1 \over 2};c={1 \over 3}\) thoả mãn điều kiện \(a,b,c \ne 0\).

Do đó

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = 2} \cr 
{z = 3} \cr} } \right. \text{(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y; z) = (1; 2; 3).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 34* trang 12 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 34 trang 12 sách bài tập toán 9. Hãy giải các hệ phương trình sau: a)3x + 5y = 34; 4x - 5y = - 13 và 5x - 2y = 5; ...

  • Bài 33 trang 12 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 33 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy: (d_1): 5x + 11y = 8; (d_2): 10x - 7y = 74; (d_3): 4mx + (2m - 1)y = m + 2.

  • Bài 32 trang 12 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 32 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): y = (2m - 5)x - 5m đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d_1):2x + 3y =7 và (d_2):3x + 2y = 13.

  • Bài 31 trang 12 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 31 trang 12 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình (x + 1)/3 - (y + 2)/4 = 2(x - y)/5 và (x - 3)/4 - (y - 3)/3 = 2y - x cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

  • Bài 30 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 30 trang 11 sách bài tập toán 9. Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng ax+by=c và a'x+b'y=c;cách thứ hai: đặt ẩn phụ,

  • Bài 29 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 29 trang 11 sách bài tập toán 9. Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax–by = 4 đi qua hai điểm A (4; 3); B(-6; -7).

  • Bài 28 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 28 trang 11 sách bài tập toán 9. Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A (-7; 4).

  • Bài 27 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 27 trang 11 sách bài tập toán 9. Giải các hệ phương trình: a) 5(x + 2y) = 3x - 1 và 2x + 4 = 3(x - 5y) - 12; ...

  • Bài 26 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 26 trang 11 sách bài tập toán 9. Giải các hệ phương trình sau: a)8x - 7y =5 và 12x + 13y =-8; ...

  • Bài 25 trang 11 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 25 trang 11 sách bài tập toán 9. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: a) 2x - 11y = - 7 và 10x + 11y = 31; b)4x + 7y = 16 và 4x - 3y = - 24; ...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.