Giải SBT đại số, hình học toán lớp 9 tập 1, tập 2 Bài tập ôn chương 3 - Góc với đường tròn

Bài 3.1 phần bài tập bổ sung trang 114 SBT toán 9 tập 2


Giải bài 3.1 phần bài tập bổ sung trang 114 sách bài tập toán 9. Cho tam giác đều ACB và ACD, cạnh a...

Đề bài

Cho tam giác đều \(ACB\) và \(ACD,\) cạnh \(a.\) Lần lượt lấy \(B\) và \(D\) làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính \(a.\) Kẻ các đường kính \(ABE\) và \(ADF.\) Trên cung nhỏ \(CE\) của đường tròn tâm \(B\) lấy điểm \(M\) (không trùng với \(E\) và \(C\)). Đường thẳng \(CM\) cắt đường tròn tâm \(D\) tại điểm thứ hai là \(N.\) Hai đường thẳng \(EM\) và \(NF\) cắt nhau tại điểm \(T.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AT\) và \(MN.\) Chứng minh:

\(a)\) \(MNT\) là tam giác đều.

\(b)\) \(AT = 4AH.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng chắn một cung.

+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

+) Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trong đường tròn \((B)\) ta có: 

\(\widehat {AMC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC}\) (hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) (vì \(∆ABC\) đều)

\( \Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ \)

\(\widehat {AME} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((B)\))

\( \Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ \)

\(\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC}\)\( = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Trong đường tròn \((D)\) ta có:

\(\widehat {ANC} =\displaystyle{1 \over 2}\widehat {ADC}\) (Hệ quả góc nội tiếp) mà \(\widehat {ADC} = 60^\circ \) (vì \(∆ADC\) đều) \( \Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ \)

\(\widehat {ANF} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \((D)\))

\( \Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ\)

\(  \Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ  - \widehat {ANC}\)\( = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \) hay \(\widehat {MNT} = 60^\circ \)

Vậy \(∆TMN\) đều.

\(b)\) \(\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ \) (theo câu a)

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow  AM = AN\) nên \(A\) nằm trên đường trung trực \(MN\)

Vì \(∆TMN\) đều \( \Rightarrow TM = TN\) nên \(T\) nằm trên đường trung trực \(MN\)

Suy ra \(AT\) là đường trung trực của \(MN\) nên \(AT ⊥ MN\)

\(∆AHM\) có \(\widehat {AHM} = 90^\circ \)

\(AM =\displaystyle{{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }}\)\( =\displaystyle {{AH} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AH\)     \(         (1)\)

Vì  \(∆TMN\) đều có \(TH ⊥ MN\) nên \(TH\) cũng là đường phân giác của \(\widehat T\) nên \(\widehat {MTA} = 30^\circ \)

\(∆AMT\) có \(\widehat {AMT} = 90^\circ \)

\(AT = \displaystyle{{AM} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {\displaystyle{AM} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AM\)\(\;  (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AT =2AM=2.2AH= 4AH\)

Vậy \(AT=4AH.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store