Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Bài 3. Phương trình đường thẳng - SBT Toán 12 Nâng cao

Bài 84 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng ∆_m là giao tuyến của 2 mặt phẳng

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng

\((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\)

LG a

Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _m}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  (m ; 1; -m) \) và \(\overrightarrow {{n_2}}  (1; -m; 1)\). Vậy \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương là

            \(\overrightarrow {{u_m}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} \right).\)

Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)\).

Vậy nếu gọi \({\varphi _m}\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _m}\) và Oz thì

\(\cos {\varphi _m} = {{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{1 + {m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2} + 4{m^2}+{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \({\varphi _m} = {45^o}\) (không đổi).

Điểm M(x; y; z) thuộc \({\Delta _m}\) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ

                       \(\left\{ \matrix{  mx + y - mz - 1 = 0 \hfill \cr  x - my + z - m = 0. \hfill \cr}  \right.\)                    (*)

Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình

\(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - 1 - {m^2} = 0\) (không chứa z).

Đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {{\alpha _m}} \right)\) chứa \({\Delta _m}\) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(\({\alpha _m}\)). Vậy khoảng cách đó bằng:

\({d_m} = {{\left| { - 1 - {m^2}} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = 1(\text{ không đổi})\)

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Tìm tập hợp các giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp (Oxy) khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Toạ độ giao điểm M của \({\Delta _m}\) và mp(Oxy) là nghiệm của hệ :

                 \(\left\{ \matrix{  mx + y = 1 \hfill \cr  x - my = m \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Bình phương hai vế của hai phương trình đầu của hệ rồi cộng lại, ta suy ra

                 \(\left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} = 1 \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 1 trong mặt phẳng toạ độ (Oxy).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua