Bài 77 trang 135 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :

LG a

\(\eqalign{  & \;\;d:{{x - 2} \over 2} = {{y - 3} \over 3} = {{z + 4} \over { - 5}},\cr&\;\;\;\;\;d':{{x + 1} \over 3} = {{y - 4} \over { - 2}} = {{z - 4} \over { - 1}}\cr} \)

Giải chi tiết:

Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2;3; - 5} \right),\overrightarrow {{u_{d'}}}  = \left( {3; - 2; - 1} \right).\)

Khi đó vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( { - 13; - 13; - 13} \right)\) nên đường vuông góc chung \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right).\)

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng chứa và \(\Delta \) thì \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \({M_o}(2;3; - 4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {8, - 7, - 1} \right).\)

Có phương trình của mp\(\left( \alpha  \right)\) là: \(8\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 3} \right) - 1\left( {z + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 8x - 7y - z + 1 = 0.\)

Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa \(d'\) và \(\Delta \) thì \(\left( \beta  \right)\)  đi qua điểm \(M_o'\left( { - 1;4;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {1;4; - 5} \right).\)

Phương trình của mp\(\left( \beta  \right)\) là :\(1\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 4} \right) - 5\left( {z - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x + 4y - 5z + 5 = 0.\)

Vậy đường vuông góc chung \(\Delta \) của \(d\) và \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) . Nó có phương trình tham số là:

                               \(\left\{ \matrix{  x = t \hfill \cr  y = t \hfill \cr  z = 1 + t. \hfill \cr}  \right.\)

Cách 2: Điểm \(M \in d\) có toa độ là \(M = \left( {2 + 2t;3 + 3t; - 4 - 5t} \right).\)

Điểm \(N \in d'\) có toa độ là \(N = \left( { - 1 + 3t';4 - 2t';4 - t'} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 3 + 3t' - 2t;1 - 2t' - 3t;8 - t' + 5t} \right).\)

MN là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d'\) khi và chỉ khi

 \(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \(M = \left( {0;0;1} \right),N = \left( {2;2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {2;2;2} \right).\)

Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \(\Delta \) là

\({x \over 1} = {y \over 1} = {{z - 1} \over 1}.\)

LG b

\(\eqalign{  & \;\;d:\left\{ \matrix{  x = 2 + t \hfill \cr  y = 1 - t \hfill \cr  z = 2t \hfill \cr}  \right.,d':\left\{ \matrix{  x = 2 - 2t'. \hfill \cr  y = 3 \hfill \cr  z = t'. \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Giải chi tiết:

\({{x - 2} \over 1} = {{y - 3} \over 5} = {z \over 2}.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài