Bài 74 trang 134 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


a)Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Cho hai điểm A(3;1;0), B(-9;4;9) và \(mp\left( \alpha  \right):2x - y + z + 1 = 0.\) Tìm tọa độ điểm M trên \(\left( \alpha  \right)\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

\(\eqalign{

& P(A) = 2.3 - 1 + 0 + 1 = 6 \cr 
& P(B) = 2.( - 9) - 4 + 9 + 1 = - 12 \cr 
& P(A).P(B) = 6.\left( { - 12} \right) < 0 \cr} \)

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng \((\alpha )\).

Gọi A' là điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (\(\alpha \)), ta có :

\(\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\)  (không đổi).

Dấu "=" xảy ra khi A' nằm giữa hai điểm B, M hay M là giao điểm của đường thẳng A'B với mp(\(\alpha \)).

Vậy bài toán được giải theo trình tự sau

* Xác định điểm A' đối xứng với điểm A qua mp(\(\alpha \)),

 Ta tìm được A' = (-1 ; 3 ; -2).

* Tìm giao điểm M của đường thẳng A'B với mp(\(\alpha \)).

Đường thẳng A'B có phương trình: \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 + 8t \hfill \cr  y = 3 - t \hfill \cr  z =  - 2 - 11t. \hfill \cr}  \right.\)

Toạ độ điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

            \(\left\{ \matrix{  x =  - 1 + 8t \hfill \cr  y = 3 - t \hfill \cr  z =  - 2 - 11t \hfill \cr  2x - y + z + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M = (7;2; - 13).\)

Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất khi \(M = (7;2; - 13).\)

LG b

Cho hai điểm A(3;1;1), B(7;3;9) và \(mp\left( \alpha  \right):x + y + z + 3 = 0.\) Tìm điểm trên \(\left( \alpha  \right)\) để \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của đoạn \(AB \Rightarrow I = (5;2;5).\)

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = 2MI.\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \) MI nhỏ nhất với I cố định và \(M \in (\alpha ) \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc với I trên mp(\(\alpha \)).

Toa độ của \(M(x;y;z)\) là nghiệm của hệ:

                    \(\left\{ \matrix{  x = 5 + t \hfill \cr  y = 2 + t \hfill \cr  z = 5 + t \hfill \cr  x + y + z + 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow t =  - 5 \Rightarrow M = (0; - 3;0).\)

Kết luận: \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right|\) nhỏ nhất \( { = 2MI = 10\sqrt 3 } \) khi M= (0; -3; 0).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài