Bài 7 trang 49 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Giải bài tập Giải các phương trình sau bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn:

Đề bài

Giải các phương trình sau bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn:

a) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\)

b) \({x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0\)

c) \({x^2} - \sqrt 6 x - 12 = 0\)

d) \({x^2} - (2 + \sqrt 3 )x + 2\sqrt 3 = 0\)

e) \({x^2} - 2(\sqrt 3 + \sqrt 2 )x + 2\sqrt 3 = 0\)

f) \(\sqrt 2 {x^2} - 2(\sqrt 3 - 1)x - 3\sqrt 2 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách giảiphương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)và b = 2b’, \(\Delta ' = b{'^2} - ac\)

+) Nếu \(\Delta ' > 0\) thì từ phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)

+) Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\)

+) Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0;\)

\(a = 1;b' = - \sqrt 3 ;c = - 6;\)

\(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 6 = 9 > 0;\sqrt {\Delta '} = 3\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: \({x_1} = \sqrt 3 + 3;{x_2} = \sqrt 3 - 3\)

b) \({x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0;\)

\(a = 1;b' = - \sqrt 7 ;c = 7;\)

\(\Delta ' = {\left( { - \sqrt 7 } \right)^2} - 7 = 0\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \sqrt 7 \)

c) \({x^2} - \sqrt 6 x - 12 = 0;\)

\(a = 1;b' = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2};c = - 12;\)

\(\Delta ' = {\left( { - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} + 12 = \dfrac{{27}}{2} > 0;\)

\(\sqrt {\Delta '} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} = 2\sqrt 6 ;\)

\({x_2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} = - \sqrt 6 \)

\(\begin{array}{l}{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0;\\a = 1;b' = - \dfrac{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{2};c = 2\sqrt 3 ;\\\Delta ' = \dfrac{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} - 2\sqrt 3 \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{7 - 4\sqrt 3 }}{4} > 0;\\\sqrt {\Delta '} = \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2} = 2;\)

\({x_2} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + 4\sqrt 6 = 0;\\a = 1;b' = - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right);c = 4\sqrt 6 ;\\\Delta ' = {\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)^2} - 4\sqrt 6 \\\;\;\;\;\;= 5 - 2\sqrt 6 = {\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)^2}\\\sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 - \sqrt 2 \end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 2 = 2\sqrt 3 ;\)

\({x_2} = \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)

\(\begin{array}{l}\sqrt 2 {x^2} - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)x - 3\sqrt 2 = 0\\a = \sqrt 2 ;b' = - \left( {\sqrt 3 - 1} \right);c = - 3\sqrt 2 \\\Delta ' = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} + \sqrt 2 .3\sqrt 2 \\\;\;\;\;\;= 10 - 2\sqrt 3 > 0\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt {10 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\)\(\, = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt {20 - 4\sqrt 3 } }}{2};\)

\({x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - \sqrt {10 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\)\(\, = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 - \sqrt {20 - 4\sqrt 3 } }}{2}\)

Loigiaihay.com