Bài 6 trang 114 SGK Hình học 11


Giải bài 6 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a...

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);

b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Chứng minh tam giác SBD có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)

Xét tam giác cân \(SAC\) cân tại \(S\) có \(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(SO\bot AC\)                      (1)

Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AC\bot (SBD)\)

\(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD)\bot (SBD)\)

b) \(∆SAC = ∆BAC  (c.c.c)\)

Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \(SO = BO\)

\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD\)

\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)

Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO  = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)

Cách khác:

Tam giác SOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:

\(S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)

Tam giác BOC vuông tại O nên theo Pi-ta-go ta có:

\(B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)

\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)

Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO  = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.1 trên 14 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài