
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi cạnh \(a\) và có \(SA = SB = SC = a\). Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng \((ABCD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\);
b) Tam giác \(SBD\) là tam giác vuông.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(AC \bot \left( {SBD} \right)\).
b) Chứng minh tam giác \(SBD\) có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)
Theo tính chất của hình thoi thì \(O\) là trung điểm của \(AC,BD\)
Xét tam giác cân \(SAC\) cân tại \(S\) ta có:
\(SO\) vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó \(SO \, \bot \, AC\) (1)
Mặt khác \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \, \bot \, BD\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC\, \bot \, (SBD)\)
\(AC\subset (ABCD)\Rightarrow (ABCD) \, \bot \, (SBD)\)
b) \(∆SAC = ∆BAC (c.c.c)\)
Do đó các đường trung tuyến ứng với các đỉnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau: \(SO = BO\)
\(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(OB=OD\)
\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)
Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)
Cách khác:
Tam giác \(SOC\) vuông tại \(O\) nên theo Pi-ta-go ta có:
\(S{O^2} = S{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)
Tam giác \(BOC\) vuông tại \(O\) nên theo Pi-ta-go ta có:
\(B{O^2} = B{C^2} - O{C^2} = {a^2} - O{C^2}\)
\( \Rightarrow SO = BO = \dfrac{1}{2}BD\)
Tam giác \(SBD\) có trung tuyển \(SO = \dfrac{1}{2}BD\) nên vuông tại \(S\). (đpcm)
Loigiaihay.com
Giải bài 7 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c...
Giải bài 8 trang 114 SGK Hình học 11. Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC...
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a...
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a...
Giải bài 5 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng...
Cho hai mặt phẳng
Trong mặt phẳng
Giải bài 2 trang 113 SGK Hình học 11. Cho hai mặt phẳng
Cho ba mặt phẳng
Có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay không ?...
Giải câu hỏi 6 trang 112 SGK Hình học 11. Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau...
Giải câu hỏi 5 trang 111 SGK Hình học 11. Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là những hình chữ nhật không ?...
Giải câu hỏi 4 trang 111 SGK Hình học 11. Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng ?...
Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD...
Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau....
Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d....
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: