Bài 11 trang 114 SGK Hình học 11


Giải bài 11 trang 114 SGK Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a...

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thoi tâm \(I\) cạnh \(a\) và có góc \(A\) bằng \(60^{0},\) cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và \(SC\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).

a) Chứng minh mặt phẳng \((SBD)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAC)\). 

b) Trong tam giác \(SCA\) kẻ \(IK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K\). Hãy tính độ dài \(IK\)

c) Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^{0}\) và từ đó suy ra mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SAD)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Chứng minh tam giác \(SCA\) và \(IKA\) đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số các cạnh và tính \(IK\).

c) Chứng minh tam giác \(BKD\) có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) và chứng minh góc đó bằng \(90^0\).

Lời giải chi tiết

a) \(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BD ⊥ (SAC)\).

Mà \(BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)\).

b) Xét tam giác \(ABD\) có \(AB=AD\) và góc \(A=60^0\) nên là tam giác đều.

Do đó \(AI={{a\sqrt 3 } \over 2}\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3 \)

\(SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot CA\) nên tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có: \(SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + {{6{a^2}} \over 4}} \) \(=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.\) 

Xét \(\Delta SCA\) và \(\Delta IKA\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
A\,chung\\
\widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0}
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\) \(\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.\)

c) Dễ thấy \(\Delta ABD\) đều nên \(BD = a \) \(\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD\) nên \(\Delta BKD\) vuông tại \(K\).

Vậy \(\widehat{BKD}=90^{0}.\)

Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SA\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\
\left( {SAB} \right) \supset BK \bot SA\\
\left( {SAD} \right) \supset DK \bot SA
\end{array} \right.\\
\end{array}\)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(BK\) và \(DK\) là góc \(\widehat{BKD}=90^{0}.\) (đpcm)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài