Bài 5 trang 16 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Xét sự tương đương của các cặp hệ phương trình sau:

Đề bài

Xét sự tương đương của các cặp hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\)  và \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết

a)

Hai đường thẳng \(2x - y =  - 1\) và \(x - y = 2\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( { - 3; - 5} \right) \Rightarrow \) Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3; - 5} \right)\).

\(x + 2y =  - 2 \Leftrightarrow 2y =  - x - 2\)\(\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - 1\,\,\left( {{d_1}} \right);\)

\(2x + 4y = 1 \Leftrightarrow 4y =  - 2x + 1 \)\(\,\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{1}{4}\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

Hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right) \Rightarrow \) Hai đường thẳng này không cắt nhau, do đó hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.\)  vô nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.\) không tương đương.

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.\)

\(x + y =  - 3 \Rightarrow y =  - x - 3\,\,\left( {{d_1}} \right);\)

\(2x + 2y =  - 6 \Leftrightarrow x + y =  - 3\)\(\, \Leftrightarrow y =  - x - 3\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

Ta có : \(\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow \) Hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.\) vô số nghiệm.

\(x - 2y = 1 \Leftrightarrow 2y = x - 1\)\(\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);\)

\(2x - 4y = 2 \Leftrightarrow x - 2y = 1\)\(\, \Leftrightarrow 2y = x - 1\)\(\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_4}} \right)\)

Ta có : \(\left( {{d_3}} \right) \equiv \left( {{d_4}} \right) \Rightarrow \)Hai đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) và \(\left( {{d_4}} \right)\) cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.\) vô số nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.\) tương đương.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\)  và \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.\)

 

\(x - y = 0 \Leftrightarrow y = x\,\,\left( {{d_1}} \right);\)

\(x + y = 2 \Leftrightarrow y =  - x + 2\,\,\left( {{d_2}} \right)\)

Hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right) \Rightarrow \) Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

 

\(x + 2y = 3 \Leftrightarrow 2y =  - x + 3\)\(\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{3}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);\)

\(2x + y = 3 \Leftrightarrow y =  - 2x + 3\,\,\left( {{d_4}} \right)\)

Hai đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) và \(\left( {{d_4}} \right)\) cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.\) có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\).

Vậy hai hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.\) tương đương.

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng