Bài 5 trang 16 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Xét sự tương đương của các cặp hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.$

c) $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$  và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a)

Hai đường thẳng $2x - y =  - 1$ và $x - y = 2$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( { - 3; - 5} \right) \Rightarrow$ Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - 3; - 5} \right)$.

$x + 2y =  - 2 \Leftrightarrow 2y =  - x - 2$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - 1\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$2x + 4y = 1 \Leftrightarrow 4y =  - 2x + 1$$\,\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{1}{4}\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right) \Rightarrow$ Hai đường thẳng này không cắt nhau, do đó hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$  vô nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x - y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y =  - 2\\2x + 4y = 1\end{array} \right.$ không tương đương.

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.$

$x + y =  - 3 \Rightarrow y =  - x - 3\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$2x + 2y =  - 6 \Leftrightarrow x + y =  - 3$$\, \Leftrightarrow y =  - x - 3\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Ta có : $\left( {{d_1}} \right) \equiv \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow$ Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.$ vô số nghiệm.

$x - 2y = 1 \Leftrightarrow 2y = x - 1$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);$

$2x - 4y = 2 \Leftrightarrow x - 2y = 1$$\, \Leftrightarrow 2y = x - 1$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {{d_4}} \right)$

Ta có : $\left( {{d_3}} \right) \equiv \left( {{d_4}} \right) \Rightarrow$Hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ và $\left( {{d_4}} \right)$ cắt nhau tại vô số điểm. Do đó hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.$ vô số nghiệm.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - 3\\2x + 2y =  - 6\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\2x - 4y = 2\end{array} \right.$ tương đương.

c) $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$  và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$

$x - y = 0 \Leftrightarrow y = x\,\,\left( {{d_1}} \right);$

$x + y = 2 \Leftrightarrow y =  - x + 2\,\,\left( {{d_2}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right) \Rightarrow$ Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

$x + 2y = 3 \Leftrightarrow 2y =  - x + 3$$\, \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + \dfrac{3}{2}\,\,\left( {{d_3}} \right);$

$2x + y = 3 \Leftrightarrow y =  - 2x + 3\,\,\left( {{d_4}} \right)$

Hai đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ và $\left( {{d_4}} \right)$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right)$ nên hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$ có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$.

Vậy hai hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 3\\2x + y = 3\end{array} \right.$ tương đương.

 Loigiaihay.com