Luyện tập 1 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1


Giải bài tập Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. CHứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho \(AE = EF = FC.\) Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. CHứng minh rằng:

a) M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB.

b) Tứ giác EMFN là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của AC và BD \( \Rightarrow IA = IC\)

\( \Rightarrow IA - AE = IC - FC\)  (vì \(AE = FC\))

\( \Rightarrow EI = FI \Rightarrow I\) là trung điểm của EF.

Tứ giác DEBF có DB và EF cắt nhau tại I (I là tâm đối xứng, \(E,F \in AC\))

I là trung điểm của BD và I là trung điểm của EF.

Do đó tứ giác DEBF là hình bình hành

\( \Rightarrow DE//BF \Rightarrow EN//BF\,\,\left( {N \in DE} \right)\)

Mà E là trung điểm của AF \(\left( {AE = EF} \right)\) nên N là trung điểm của AB.

\(\Delta DEC\) có \(MF//DE\,\,\left( {DE//BF,\,\,M \in BF} \right)\) và F là trung điểm của EC \(\left( {EF = FC} \right)\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của CD.

b) Ta có

\(AN = {{AB} \over 2}\)  (N là trung điểm của AB)

\(MC = {{CD} \over 2}\) (M là trung điểm của CD)

\(AB = CD\) (ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow AN = MC\)

Xét tam giác AEN và tam giác MFC ta có :

\(\eqalign{  & AE = FC\,\,\left( {gt} \right)  \cr  & AN = MC \cr} \)

\(\widehat {NAE} = \widehat {FCM}\) (hai góc so le trong và AB // CD)

Do đó \(\Delta AEN = \Delta CFM\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

Tứ giác EMFN có EN // MF \(\left( {DE//BF,\,\,N \in DF,\,\,M \in BF} \right)\)

Và \(EN = MF\,\,\left( {\Delta AEN = \Delta CFM} \right)\). Do đó tứ giác EMFN là hình bình hành.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 9 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài