Bài 9 trang 100 SBT toán 9 tập 2


Đề bài

Cho \(C\) là một điểm nằm trên cung lớn \(AB\) của đường tròn \((O).\) Điểm \(C\) chia cung lớn \(\overparen{AB}\) thành hai cung \(\overparen{AC}\) và \(\overparen{CB}.\) Chứng minh rằng cung lớn \(\overparen{AB}\) có \(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} = sđ \overparen{CB}.\)

Hướng dẫn: Xét \(3\) trường hợp:

\(a)\) Tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)

\(b)\) Tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)

\(c)\) Tia \(OC\) nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta sử dụng kiến thức:

+) Nếu \(C\) là một điểm trên cung \(AB\) thì: \(sđ \overparen{AB}=sđ \overparen{AC}+sđ \overparen{CB}.\)

+) Số đo của nửa đường tròn bằng \(180^o.\)

+) Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa  \(360^o\) và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

+) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Trường hợp tia \(OC\) nằm trong góc đối đỉnh với \(\widehat {AOB}\) 

Kẻ đường kính \(CD\)

Suy ra: \(OD\) nằm giữa \(OA\) và \(OB\) nên điểm \(D\) nằm trên cung nhỏ cung \(\overparen{AB}\)

\(\Rightarrow sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{BD}(nhỏ) \)\(= sđ \overparen{AB}(nhỏ)\) \((1)\)

Vì \(OA\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(A\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)

\( \Rightarrow\)\( sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ)\)\( =180^o\) \((2)\)

Vì \(OB\) nằm giữa \(OC\) và \(OD\) nên điểm \(B\) nằm trên cung nửa đường tròn \(CD.\)

\( \Rightarrow sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=180^o\) \((3)\)

Cộng từng vế \((2)\) và \((3):\)

\(sđ \overparen{AD}(nhỏ) + sđ \overparen{AC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{BD}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(=360^o\) \(    (4)\)

Từ \((1)\) và \((4)\) suy ra: \(sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ) \)\(+ sđ \overparen{AB}(nhỏ) =360^o\)

\( \Rightarrow sđ \overparen{AC}(nhỏ) + sđ \overparen{BC}(nhỏ)\)\( = 360^o- sđ \overparen{AB}(nhỏ)\)

Mà \(360^o - sđ \overparen{AB}(nhỏ) = sđ \overparen{AD}(lớn)\)

Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB}= sđ \overparen{AC} + sđ \overparen{BC}\)

b) Trường hợp tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)

 

Do tia \(OC\) trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm \(\widehat{AOB}\), ta có:

\(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^o}\); \(\widehat {AOC} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^o} - \widehat {AOB}\)

Suy ra: \(sđ \overparen{AB} + sđ\overparen{BC} (nhỏ) \)\(=360^o - sđ \overparen{AB} (nhỏ)\)

Vậy với cung lớn \(\overparen{AB}\) ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ \overparen{AC} (nhỏ) + sđ \overparen{BC} \)

c) Trong hợp tia \(OC\) nằm trong góc kề bù với góc ở tâm \(\widehat{AOB}\)

Kẻ đường kính \(AE.\)

Theo trường hợp \(b)\) ta có:

\(sđ \overparen{AB} (lớn) \)\(= sđ \overparen{AE} (nhỏ) + sđ \overparen{BE} (nhỏ)\)

Ta xét trường hợp \(C\) nằm trên cung nhỏ \(\overparen{EB}:\)

\(sđ \overparen{EB} (nhỏ) \)\(= sđ\overparen{EC} (nhỏ) + sđ \overparen{CB} (nhỏ)\)

\( \Rightarrow \) \(sđ \overparen{AB} (lớn) = sđ\overparen{AE} \)\(+ sđ \overparen{EC} (nhỏ) + sđ\overparen{CB} (nhỏ)\)

Theo kết quả trường hợp \(b)\) ta có:

\(sđ \overparen{AE} + sđ \overparen{EC} (nhỏ)= sđ \overparen{AC} (lớn)\)

Vậy với cung \(\overparen{AB}\) lớn ta có: \(sđ \overparen{AB} = sđ\overparen{AC} + sđ \overparen{CB}\)

Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối với góc ở tâm \(\widehat {BOE}\) chứng minh tương tự.

Trong trường hợp \(OC\) nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) chứng minh ở trường hợp \(a).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Góc ở tâm. Số đo cung

  • Bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 100 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 1.1 phần bài tập bổ sung trang 100 sách bài tập toán 9. Cho hình bs.4. Biết góc DOA = 120 độ, OA vuông góc với OC, OB vuông góc với OD...

  • Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 100 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 100 sách bài tập toán 9.

  • Bài 8 trang 100 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 8 trang 100 sách bài tập toán 9.Trên một đường tròn, có cung AB bằng 1400, cung AD nhận B làm điểm chính giữa, cung CB nhận A là điểm chính giữa. Tính số đo cung nhỏ CD và cung lớn CD.

  • Bài 7 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 7 trang 99 sách bài tập toán 9.Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Đường phân giác của góc OBO’ cắt các đường tròn (O), (O’) tương ứng tại C, D. Hãy so sánh các góc ở tâm BOC và BO’D.

  • Bài 6 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 6 trang 99 sách bài tập toán 9. Cho hai đường đường tròn (O; R) và (O’;R’) cắt nhau tại A, B. Hãy so sánh R và R’ trong các trường hợp sau:...

  • Bài 5 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 5 trang 99 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Vẽ dây cung AB. Vẽ dây CD dài bằng R. Tính góc ở tâm DOB. Có mấy đáp số?

  • Bài 4 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 4 trang 99 sách bài tập toán 9.Hai tiếp tuyến tại A, B của đường tròn (O, R) cắt nhau taị M. Biết OM=2R. Tính số đo góc ở tâm AOB.

  • Bài 3 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 3 trang 99 sách bài tập toán 9. Hãy xếp một tờ giấy để cắt thành một hình ngôi sao năm cánh đều nhau.Muốn cắt chỉ bằng một nhát kéo thì phải gấp tờ giấy đó thành một hình có góc ở tâm bằng bao nhiều độ?

  • Bài 2 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 2 trang 99 sách bài tập toán 9. Một đồng hồ chạy chậm 25 phút. Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ?

  • Bài 1 trang 99 SBT toán 9 tập 2

    Giải bài 1 trang 99 sách bài tập toán 9. a) Từ 1 giờ đến 3 giờ kim giờ quay được 1 góc ở tâm bằng bao nhiêu độ...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.