Bài 77* trang 169 SBT toán 9 tập 1


Đề bài

Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O’)\) tiếp xúc ngoài tại \(A.\) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài \(MN\) với \(M\) thuộc \((O)\) và \(N\) thuộc \((O’).\) Gọi \(P\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(OO’, Q\) là điểm đối xứng với \(N\) qua \(OO’.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) \(PQ\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn \((O)\) và \((O’).\)

\(c)\) \(MN + PQ = MP + NQ.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang.

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Vì \(M\) và \(P\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(MP.\)

Suy ra: \(OP = OM\)

Khi đó \(P\) thuộc \((O)\) và \(MP ⊥ OO’\;\;             (1)\)

Vì \(N\) và \(Q\) đối xứng qua trục \(OO’\) nên \(OO’\) là đường trung trực của \(NQ\)

Suy ra: \(O’N = O’Q\)

Khi đó \(Q\) thuộc \((O’)\) và \(NQ ⊥ OO’\;\;            (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \( MP // NQ\)

Tứ giác \(MNQP\) là hình thang.

Vì \(OO’\) là đường trung trực của \(MP\) và \(NQ\) nên \(OO’\) đi qua trung điểm hai đáy hình thang \(MNQP,\) \(OO’\) đồng thời cũng là trục đối xứng của hình thang \(MNQP\) nên \(MNQP\) là hình thang cân.

\(b)\) Ta có: \(MN ⊥ OM\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra:  \(\widehat {OMN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OMP} + \widehat {PMN} = 90^\circ \)    (3)

Vì \(OM = OP\) (= bán kính đường tròn (O)) nên tam giác \(OMP\) cân tại \(O\)

Suy ra: \(\widehat {OPM} = \widehat {OMP}\)                    \( (4)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {PMN} = \widehat {QPM}\) \( (5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(\widehat {OPM} + \widehat {QPM} = 90^\circ \)

Suy ra: \(QP ⊥ OP\) tại \(P\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O).\)

Ta có: \(MN ⊥ O’N\) ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {O'NM} = 90^\circ \)

Mà \(\widehat {O'NM} = \widehat {MNQ} - \widehat {O'NQ} = 90^\circ \)   \((6)\)

Vì \(O’N = O’Q \) (= bán kính đường tròn (O')) nên tam giác \(O’NQ\) cân tại \(O’\)

Suy ra: \(\widehat {O'NQ} = \widehat {O'QN}\)   \((7)\)

Lại có \(MNQP\) là hình thang cân nên \(\widehat {MNQ} = \widehat {PQN}\)  \((8)\)

Từ \((6), (7)\) và \((8)\) suy ra: \(\widehat {PQN} - \widehat {O'QN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {O'QP} = 90^\circ \)

Suy ra:   \(QP ⊥ O’Q\) tại \(Q\)

Vậy \(PQ\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O’).\)

\(c)\) Kẻ tiếp tuyến chung tại \(A\) cắt \(MN\) tại \(E\) và \(PQ\) tại \(F\)

Trong đường tròn \((O),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\( EM = EA\) và \(FP = FA\)

Trong đường tròn \((O’),\) theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:    

   \(EN = EA\) và \(FQ = FA\)

Suy ra:   \(EM = EA = EN = \displaystyle {1 \over 2}MN\)

\(FP = FA = FQ = \displaystyle {1 \over 2}PQ\)

Suy ra: \(MN +PQ = 2EA + 2FA \)\(= 2(EA + FA) = 2EF  \;\;    (9)\)

Vì \(EF\) là đường trung bình của hình thang \(MNQP\) nên:

\(EF = \displaystyle {{MP + NQ} \over 2}\) hay \(MP + NQ = 2EF    \;\;    (10)\)

Từ \((9)\) và \((10)\) suy ra: \( MN + PQ = MP + NQ.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.2 trên 5 phiếu
  • Bài 78 trang 170 SBT toán 9 Tập 1

    Giải bài 78 trang 170 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm), OO’ = 6cm...

  • Bài 79 trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 79 trang 170 sách bài tâp toán 9. Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn (R < OA < 3R). Vẽ đường tròn (A ; 2R)...

  • Bài 80 trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 80 trang 170 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d. Dựng đường tròn (O’ ; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài đường tròn (O).

  • Bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 8.1 phần bài tập bổ sung trang 170 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; r). Điền vào chỗ trống của bảng sau:...

  • Bài 8.2 phần bài tập bỏ sung trang 170 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 8.2 phần bài tập bỏ sung trang 170 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O';4cm) có OO' = 5cm...

  • Bài 8.3 phần bài tập bổ sung trang 171 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 8.3 phần bài tập bổ sung trang 171 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O) và điểm A cố định trên đường tròn. Điểm B chuyển động trên đường tròn...

  • Bài 76 trang 169 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 76 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D ∈ (O), E ∈ (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE...

  • Bài 75 trang 169 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 75 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O; 3cm) và đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ hai bán kính OB và O’C song song với nhau thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ OO’...

  • Bài 74 trang 169 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 74 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Một đường tròn (O’) cắt một đường tròn tâm O tại A, B và cắt đường tròn tâm O còn lại tại C, D. Chứng minh rằng AB // CD.

  • Bài 73 trang 169 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 73 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( C ∈ (O), D ∈ (O’))...

  • Bài 72 trang 169 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 72 trang 169 sách bài tập toán 9. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Gọi AB là dây bất kỳ của đường tròn nhỏ. Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn ở C và D ( nằm giữa B và C). So sánh các độ dài AC và BD.

  • Bài 71 trang 168 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 71 trang 168 sách bài tập toán 9. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ các đường tròn (I ; IA) và (B ; BA)...

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài