Bài 67 trang 15 SBT toán 9 tập 1


Giải 67 trang 15 sách bài tập toán 9. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh: a) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất....

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, chứng minh: 

LG câu a

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\). 

Lời giải chi tiết:

Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))

Các hình chữ nhật có cùng chu vi thì \(C = 2.(a + b)\) không đổi hay \((a + b)\) không đổi.

Suy ra: \(\displaystyle{{a + b} \over 2}\) không đổi.

Diện tích của hình chữ nhật \(S=a.b\)  

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

\( \displaystyle\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow S \le {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}
\end{array}\) 

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b.\) Hay hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

Vậy để \( {S_{\max }} = {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\) thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất. 

(Chú ý: max là lớn nhất) 

LG câu b

Trong các hình chữ  nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất. 

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với hai số không âm \(a\),\(b\):

\( \displaystyle \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a = b\). 

Lời giải chi tiết:

Gọi hình chữ nhật có chiều dài \(a\) và chiều rộng \(b\) (với \(a>b>0\))

Các hình chữ nhật có cùng diện tích \(S=a.b\) thì \(a.b\) không đổi.

Từ bất đẳng thức:

\( \displaystyle{{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow a + b \le 2\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow 2.(a + b) \le 4\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow C \le 4\sqrt {ab} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\) 

Vậy để \({C_{\min }} = 4\sqrt {ab} \)  thì hình chữ nhật là hình vuông.

Điều này cho thấy trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất.

(Chú ý: min là nhỏ nhất) 

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài