Bài 5.2 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 8 tập 1


Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Biết \(AC = 6\,cm,\, BD = 8\,cm.\) Gọi \(M,\, N,\, P,\, Q\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\) Gọi \(X,\, Y,\, Z,\, T\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(MN,\, NP,\, PQ,\, QM.\)

a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác \(XYZT.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

a) Trong \(∆ ABD\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(Q\) là trung điểm của \(AD\)

nên \(MQ\) là đường trung bình của \(∆ ABD.\)

\(⇒ MQ // BD\) và \(MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong \(∆ CBD\) ta có:

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\(P\) là trung điểm của \(CD\) 

nên \(NP\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)

\(⇒ NP // BD\) và \(NP = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MQ // NP\) và \(MQ = NP\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

\(AC ⊥ BD\) (gt)

\(MQ // BD\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(AC ⊥ MQ\)

Trong \(∆ ABC\) có \(MN\) là đường trung bình \(⇒ MN // AC\)

Suy ra: \(MN ⊥ MQ\) hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo \(MP\) và \(NQ\)

Trong \(∆ MNP\) ta có:

\(X\) là trung điểm của \(MN\)

\(Y\) là trung điểm của \(NP\)

nên \(XY\) là đường trung bình của \(∆ MNP\)

\(⇒ XY // MP\) và \(XY =\dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong \(∆ QMP\) ta có:

\(T\) là trung điểm của \(QM\)

\(Z\) là trung điểm của \(QP\)

nên \(TZ\) là đường trung bình của \(∆ QMP\)

\(⇒ TZ // MP\) và \(TZ = \dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(XY // TZ\) và \(XY = TZ\) nên tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.

Trong \(∆ MNQ\) ta có \(XT\) là đường trung bình

\(⇒ XT = \dfrac{1}{2}QN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật \(⇒ MP = NQ\)

Suy ra: \(XT = XY.\) Vậy tứ giác \(XYZT\) là hình thoi

\(S_{XYZT }= \dfrac{1}{2}XZ.TY\)

mà \(XZ = MQ = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.8 = 4\) \((cm);\)

\(TY = MN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.6 = 3\)  \((cm)\)

Vậy : \(S_{XYZT} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6(c{m^2})\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 5. Diện tích hình thoi

  • Bài 5.3 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 5.3 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 8.Cho tam giác vuông ABC, có hai cạnh góc vuông là AC = 6cm và AB = 8cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 5cm. Tính diện tích của tứ giác MNPQ.

  • Bài 5.1 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 5.1 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 8. a) Sử dụng kéo cắt đúng 2 lần, theo đường thẳng, chia một hình chữ nhật thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình thoi.

  • Bài 46 trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 46 trang 163 SBT toán 8. Hai đường chéo của một hình thoi có độ dài là 16cm và 12cm. Tính: a) Diện tích hình thoi. b) Độ dài cạnh hình thoi. c) Độ dài đường cao hình thoi

  • Bài 45 trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 45 trang 163 sách bài tập toán 8. Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và 1/2 a. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu hình như vậy ?

  • Bài 44 trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 44 trang 163 sách bài tập toán 8. Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI = 3cm (I là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính diện tích hình thoi đó.

  • Bài 43 trang 163 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 43 trang 163 sách bài tập toán 8. Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6,2cm và một trong các góc của nó có số đo bằng 30°

  • Bài 42 trang 162 SBT toán 8 tập 1

    Giải bài 42 trang 162 sách bài tập toán 8. Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất.

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.