Bài 5.2 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 8 tập 1


Giải bài 5.2 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 8. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm... Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Biết \(AC = 6\,cm,\, BD = 8\,cm.\) Gọi \(M,\, N,\, P,\, Q\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\) Gọi \(X,\, Y,\, Z,\, T\) theo thứ tự là trung điểm các cạnh \(MN,\, NP,\, PQ,\, QM.\)

a) Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác \(XYZT.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

a) Trong \(∆ ABD\) ta có:

\(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(Q\) là trung điểm của \(AD\)

nên \(MQ\) là đường trung bình của \(∆ ABD.\)

\(⇒ MQ // BD\) và \(MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong \(∆ CBD\) ta có:

\(N\) là trung điểm của \(BC\)

\(P\) là trung điểm của \(CD\) 

nên \(NP\) là đường trung bình của \(∆ CBD\)

\(⇒ NP // BD\) và \(NP = \dfrac{1}{2}BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(MQ // NP\) và \(MQ = NP\) nên tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

\(AC ⊥ BD\) (gt)

\(MQ // BD\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(AC ⊥ MQ\)

Trong \(∆ ABC\) có \(MN\) là đường trung bình \(⇒ MN // AC\)

Suy ra: \(MN ⊥ MQ\) hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

b) Kẻ đường chéo \(MP\) và \(NQ\)

Trong \(∆ MNP\) ta có:

\(X\) là trung điểm của \(MN\)

\(Y\) là trung điểm của \(NP\)

nên \(XY\) là đường trung bình của \(∆ MNP\)

\(⇒ XY // MP\) và \(XY =\dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong \(∆ QMP\) ta có:

\(T\) là trung điểm của \(QM\)

\(Z\) là trung điểm của \(QP\)

nên \(TZ\) là đường trung bình của \(∆ QMP\)

\(⇒ TZ // MP\) và \(TZ = \dfrac{1}{2} MP\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(XY // TZ\) và \(XY = TZ\) nên tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.

Trong \(∆ MNQ\) ta có \(XT\) là đường trung bình

\(⇒ XT = \dfrac{1}{2}QN\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật \(⇒ MP = NQ\)

Suy ra: \(XT = XY.\) Vậy tứ giác \(XYZT\) là hình thoi

\(S_{XYZT }= \dfrac{1}{2}XZ.TY\)

mà \(XZ = MQ = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.8 = 4\) \((cm);\)

\(TY = MN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.6 = 3\)  \((cm)\)

Vậy : \(S_{XYZT} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6(c{m^2})\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 5. Diện tích hình thoi

>> Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10 năm học 2021-2022, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com


Gửi bài