Bài 46 trang 143 SBT toán 7 tập 1


Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng \(AD\) vuông góc với \(AB\) và bằng \(AB\) (\(D\) khác phía \(C\) đối với \( AB\)), vẽ đoạn thẳng \(AE \) vuông góc với \(AC\) và bằng \(AC\) (\(E\) khác phía \(B\) đối với \(AC\))

Chứng minh rằng:

a) \(DC = BE\)

b) \({\rm{D}}C \bot\, BE\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

- Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

- Tổng các góc của một tam giác bằng \(180^o\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + \widehat {EAC} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr 
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr 
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \)

Xét \(∆ABE\) và \(∆ADC\), ta có:

\(AB = AD\) (gt)

\( \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)

\(AE = AC\) (gt)

\(\Rightarrow ∆ABE = ∆ADC\) (c.g.c)

\(\Rightarrow BE=  DC\) (hai cạnh tương ứng)

b) Gọi giao điểm \(DC\) và \(AB\) là \(H\), giao điểm của \(CD\) và \(BE\) là \(K\)

Ta có: \(∆ABE = ∆ADC\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat D\)             (1)

Xét tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)       (2)

Mà: \(\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\) (đối đỉnh)            (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HBK} + \widehat {KHB} = 90^\circ \) 

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(∆KHB\), ta có:

\(\widehat {KHB} + \widehat {HBK} + \widehat {BKH} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ  - \left( {\widehat {HBK} + \widehat {KHB}} \right)\)\(\, = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Vậy \(DC \bot BE\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.7 trên 42 phiếu

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.