Bài 34 trang 42 SBT toán 7 tập 2


Đề bài

Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:

a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\) 

b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+) Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(\displaystyle AM, BN, CP\) là các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC\) cắt nhau tại \(\displaystyle G.\)

Vì \(\displaystyle AG = GD\) (vì G là trung điểm của AD)

Mà \(\displaystyle AG = 2GM\) (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)

Nên \(\displaystyle GD  = 2GM\)

Lại có \(\displaystyle GD = GM + MD\)

Suy ra: \(\displaystyle GM = MD\)

Xét \(\displaystyle ∆BMD\) và \(\displaystyle ∆CMG:\)

+) \(\displaystyle BM = CM\) (gt) 

+) \(\displaystyle \widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\) (đối đỉnh)

+) \(\displaystyle MD = GM\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\displaystyle ∆BMD = ∆CMG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow  BD = CG\)

Mà \(\displaystyle CG = {2 \over 3}CP\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle B{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\)    (1)

\(\displaystyle BG = {2 \over 3}BN\) (tính chất đường trung tuyến)   (2)

\(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle G{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của \(\displaystyle ∆BGD\) bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC.\)

b)  * Vì \(\displaystyle GM = MD\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle BM\) là đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆BGD\)

Ta có \(\displaystyle BM = {1 \over 2}BC\)   (4) (vì M là trung điểm BC) 

* Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle GE\) và \(\displaystyle DF\) của \(\displaystyle ∆BGD\)

\(\displaystyle \Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\) (vì F là trung điểm BG) 

\(\displaystyle GN = {1 \over 2}BG\) (tính chất đường trung tuyến)

Nên \(\displaystyle FG = GN\)

Xét \(\displaystyle ∆DFG\) và \(\displaystyle ∆ANG:\)

+) \(\displaystyle AG = GD\) (gt)

+) \(\displaystyle \widehat {DGF} = \widehat {AGN}\) (đối đỉnh)

+) \(\displaystyle GF = GN\) (chứng minh trên)

Do đó \(\displaystyle ∆DFG  = ∆ANG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow  DF = AN  \)          

Mà \(\displaystyle AN = {1 \over 2}AC\) (gt)

Suy ra: \(\displaystyle {\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\) (5)

* Ta có \(\displaystyle BD = CG\) (chứng minh câu a)

Mà \(\displaystyle {\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\) (vì \(\displaystyle E\) là trung điểm \(\displaystyle BD)\)

\(\displaystyle GP = {1 \over 2}CG\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle ED = GP\) 

Lại có \(\displaystyle ∆BDM = ∆CGM\) (chứng minh trên)

\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\) hay \(\displaystyle \widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\)

Mà \(\displaystyle \widehat {CGM} = \widehat {PGA}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\)

Lại có: \(\displaystyle AG = GD\) (gt) và \(\displaystyle ED = GP\) (cmt)

Suy ra: \(\displaystyle ∆PGA = ∆EDG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow GE = AP\) mà  \(\displaystyle AP = \dfrac{1}{2}AB\)

Suy ra: \(\displaystyle GE = {1 \over 2}AB\)             (6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆BGD\) bằng một nửa cạnh của \(\displaystyle ∆ABC.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.6 trên 13 phiếu
  • Bài 35 trang 42 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 35 trang 42 sách bài tập toán 7. Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE > 15cm.

  • Bài 36 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 36 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho...

  • Bài 37 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 37 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: a) IK // DE, IK = DE ...

  • Bài 38 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 38 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm M sao cho MD = MA. a) Tính số đo góc ABD...

  • Bài 39 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 39 trang 43 sách bài tập toán 7. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng góc BAC bằng 90 độ.

  • Bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 43, 44 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 43, 44 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng DE. Khi đó trọng tâm của tam giác ABC là:...

  • Bài 4.4, 4.5, 4.6 phần bài tập bổ sung trang 44 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 4.4, 4.5, 4.6 phần bài tập bổ sung trang 44 sách bài tập toán 7. Trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AA1 và BB1 cắt nhau tại điểm O. Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu diện tích tam giác ABO bằng 5cm^2.

  • Bài 33 trang 42 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 33 trang 42 sách bài tập toán 7. Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM...

  • Bài 32 trang 42 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 32 trang 42 sách bài tập toán 7. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

  • Bài 31 trang 42 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 31 trang 42 sách bài tập toán 7. Cho hình 7. Điền vào chỗ trống: GK = ….CK; AG = … GM; GK = … CG; AM = ….AG; AM = … GM.

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.