Giải bài tập, Sách bài tập (SBT) Toán 7 Bài 4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 34 trang 42 SBT toán 7 tập 2


Giải bài 34 trang 42 sách bài tập toán 7.Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vẽ điểm D sao cho G là trung điểm của AD. Chứng minh rằng: a) Các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC...

Đề bài

Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:

a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\) 

b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+) Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(\displaystyle AM, BN, CP\) là các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC\) cắt nhau tại \(\displaystyle G.\)

Vì \(\displaystyle AG = GD\) (vì G là trung điểm của AD)

Mà \(\displaystyle AG = 2GM\) (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)

Nên \(\displaystyle GD  = 2GM\)

Lại có \(\displaystyle GD = GM + MD\)

Suy ra: \(\displaystyle GM = MD\)

Xét \(\displaystyle ∆BMD\) và \(\displaystyle ∆CMG:\)

+) \(\displaystyle BM = CM\) (gt) 

+) \(\displaystyle \widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CMG}\) (đối đỉnh)

+) \(\displaystyle MD = GM\) (chứng minh trên)

Do đó: \(\displaystyle ∆BMD = ∆CMG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow  BD = CG\)

Mà \(\displaystyle CG = {2 \over 3}CP\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle B{\rm{D = }}{2 \over 3}CP\)    (1)

\(\displaystyle BG = {2 \over 3}BN\) (tính chất đường trung tuyến)   (2)

\(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}AM\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle G{\rm{D}} = {2 \over 3}AM\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của \(\displaystyle ∆BGD\) bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆ABC.\)

b)  * Vì \(\displaystyle GM = MD\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle BM\) là đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆BGD\)

Ta có \(\displaystyle BM = {1 \over 2}BC\)   (4) (vì M là trung điểm BC) 

* Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle GE\) và \(\displaystyle DF\) của \(\displaystyle ∆BGD\)

\(\displaystyle \Rightarrow FG = {1 \over 2}BG\) (vì F là trung điểm BG) 

\(\displaystyle GN = {1 \over 2}BG\) (tính chất đường trung tuyến)

Nên \(\displaystyle FG = GN\)

Xét \(\displaystyle ∆DFG\) và \(\displaystyle ∆ANG:\)

+) \(\displaystyle AG = GD\) (gt)

+) \(\displaystyle \widehat {DGF} = \widehat {AGN}\) (đối đỉnh)

+) \(\displaystyle GF = GN\) (chứng minh trên)

Do đó \(\displaystyle ∆DFG  = ∆ANG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow  DF = AN  \)          

Mà \(\displaystyle AN = {1 \over 2}AC\) (gt)

Suy ra: \(\displaystyle {\rm{D}}F = {1 \over 2}AC\) (5)

* Ta có \(\displaystyle BD = CG\) (chứng minh câu a)

Mà \(\displaystyle {\rm{ED}} = {1 \over 2}B{\rm{D}}\) (vì \(\displaystyle E\) là trung điểm \(\displaystyle BD)\)

\(\displaystyle GP = {1 \over 2}CG\) (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: \(\displaystyle ED = GP\) 

Lại có \(\displaystyle ∆BDM = ∆CGM\) (chứng minh trên)

\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}M} = \widehat {CGM}\) hay \(\displaystyle \widehat {E{\rm{D}}G} = \widehat {CGM}\)

Mà \(\displaystyle \widehat {CGM} = \widehat {PGA}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(\displaystyle \widehat {{\rm{ED}}G} = \widehat {PGA}\)

Lại có: \(\displaystyle AG = GD\) (gt) và \(\displaystyle ED = GP\) (cmt)

Suy ra: \(\displaystyle ∆PGA = ∆EDG\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow GE = AP\) mà  \(\displaystyle AP = \dfrac{1}{2}AB\)

Suy ra: \(\displaystyle GE = {1 \over 2}AB\)             (6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của \(\displaystyle ∆BGD\) bằng một nửa cạnh của \(\displaystyle ∆ABC.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 14 phiếu
Bài tiếp theo
  • Bài 35 trang 42 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 35 trang 42 sách bài tập toán 7. Tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD và CE. Chứng minh rằng BD + CE > 15cm.

  • Bài 36 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 36 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho...

  • Bài 37 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 37 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ đường trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GA, GB. Chứng minh rằng: a) IK // DE, IK = DE ...

  • Bài 38 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 38 trang 43 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm M sao cho MD = MA. a) Tính số đo góc ABD...

  • Bài 39 trang 43 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 39 trang 43 sách bài tập toán 7. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng góc BAC bằng 90 độ.

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store