Bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 phần bài tập bổ sung trang 54 SBT toán 7 tập 2


Giải bài 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 phần bài tập bổ sung trang 54 sách bài tập toán 7. Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Bài III.1

Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh.

Phương pháp giải:

Sử dụng:

Trong các đường xiên và đường vuông góc xuất phát từ một điểm đến một đường thẳng: Đường vuông góc luôn có độ dài nhỏ hơn đường xiên. 

Lời giải chi tiết:

Vì trong một tam giác, đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng mà đường vuông góc luôn nhỏ hơn đường xiên nên ta có đường cao luôn nhỏ hơn đường trung tuyến. (1)

Nếu đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ đỉnh của tam giác cân thì chúng bằng nhau. (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh.

Bài III.2

Cho tam giác \(ABC\) có hai đường trung tuyến \(AD, BE\) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng \(BC < 2AC.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) Trong một tam giác, góc ngoài tại 1 đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.

+) Trong tam giác tù, đối diện với góc tù là cạnh có độ dài lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét hai tam giác \(ADC \) có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{G_1}} + \widehat {{GBD}}\) (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó) 

Mà theo giả thiết \(\widehat {{G_1}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{D_1}}>90^0\) hay \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù.

Trong tam giác \(ADC\) có \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù và cạnh \(AC\) đối diện với góc \({{\rm{D}}_1}\) nên \(AC\) là cạnh lớn nhất trong tam giác (trong tam giác tù, đối diện với góc tù là cạnh có độ dài lớn nhất)

Nên \(AC > DC\).

Lại có \(D\) là trung điểm \(BC\) (do AD là đường trung tuyến của tam giác ABC) nên \(DC=\dfrac{BC}{2}\)

Từ đó \(AC > DC \)\(\Rightarrow AC>\dfrac{BC}{2}\) 

Do đó: \(2AC>BC\)

Bài III.3

Ba đường phân giác \(AD, BE, CF\) của tam giác \(ABC\) quy đồng tại \(O.\) Kẻ đường vuông góc \(OG\) đến \(BC. \) Chứng minh rằng \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng: 

+) Trong một tam giác, góc ngoài tại 1 đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.

+) Tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^0\)

Lời giải chi tiết:

Để chứng minh \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\), ta chứng minh \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\).

Trong tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác) nên \(\widehat A + \widehat B = {180^0} - \widehat C\)

Xét tam giác ABC có AO, BO, CO lần lượt là phân giác các góc trong A, B, C

Nên \(\widehat {OAB} = \dfrac{1}{2}\widehat A,\widehat {OBA} = \dfrac{1}{2}\widehat B\), \(\widehat {OCG} = \dfrac{1}{2}\widehat C\)

Xét tam giác \(OAB,\) ta có \(\widehat {BO{\rm{D}}} \) là góc ngoài tại đỉnh O nên \(\widehat {BOD} = \widehat {OAB} + \widehat {OBD}\)

Suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} \)\(\displaystyle= {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) \)\(\displaystyle = {1 \over 2}\left( {180^\circ  - \widehat C} \right)\)     (1)

Xét tam giác vuông \(OCG\) ta có: \(\widehat {GOC} + \widehat {OCG} = {90^0}\) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \(90^0\)) 

Nên \(\displaystyle \widehat {GOC} = {90^0}-\widehat {OCG}\)\(\displaystyle =90^\circ  - {1 \over 2}\widehat C \)\(\displaystyle = {1 \over 2}\left( {180^\circ  - \widehat C} \right)\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\).

Do đó: \(\widehat {BOD} - \widehat {DOG} = \widehat {COG} - \widehat {DOG}\)

Hay \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\).

Bài III.4

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(\widehat B = 112^\circ \). Kẻ đường cao \(AH\) và đường phân giác \(AD\) của tam giác đó. Tính các góc của tam giác \(AHD.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng:

+) Trong một tam giác, góc ngoài tại 1 đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.

+) Tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^0.\)

+) Trong tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy bằng nhau. 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\widehat {ABH} + \widehat {ABC} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {ABH} = 180^\circ - \widehat {ABC}\)\(=180^\circ  - 112^\circ  = 68^\circ \)

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại H, ta có: \(\widehat {{A_1}} + \widehat {ABH}= 90^\circ \)  ( tính chất tam giác vuông) nên \(\widehat {{A_1}} = 90^\circ  - \widehat {ABH} = 90^\circ  - 68^\circ  = 22^\circ \)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACB}\) (tính chất)

Lại có \(\widehat B = 112^\circ \) và \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {180^0}\) (định lý về tổng ba góc trong tam giác) nên  \(\widehat {BAC} + \widehat {ACB} =180^0- \widehat {ABC} = {180^0}-112^0=68^0\) hay \(2.\widehat {BAC} =68^0\)

Từ đó \(\widehat {BAC} =68^0:2 = 34^\circ \)  

Do AD là tia phân giác của góc BAC nên \(\widehat {{A_2}} = \widehat {BAC}:2\)\( = 34^\circ :2 = 17^\circ \).

Từ đó: \(\widehat {HA{\rm{D}}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} \)\(= 22^\circ  + 17^\circ  = 39^\circ \)

Xét tam giác \(HDA\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat {H{\rm{D}}A} + \widehat {HA{\rm{D}}}= 90^\circ   \) (tính chất tam giác vuông) nên \(\widehat {H{\rm{D}}A} = 90^\circ  - \widehat {HA{\rm{D}}} \)\(= 90^\circ  - 39^\circ  = 51^\circ \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu
  • Bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 phần bài tập bổ sung trang 54, 55 sách bài tập toán 7.Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ các đường cao AA_1 và BB_1 của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng đường thẳng MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

  • Bài 91 trang 54 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 91 trang 54 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC, các đường phân giác của góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E. Gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, AB, AC...

  • Bài 90 trang 54 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 90 trang 54 sách bài tập toán 7. Chứng minh rằng MA < MB.

  • Bài 89 trang 53 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 89 trang 53 sách bài tập toán 7. Cho hình 20 trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và b nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, ...

  • Bài 88 trang 53 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 88 trang 53 sách bài tập toán 7.Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy.

  • Bài 87 trang 53 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 87 trang 53 sách bài tập toán 7. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy. a) Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy, cách đều Ox, Oy và cách đều A, B...

  • Bài 86 trang 53 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 86 trang 53 sách bài tập toán 7.Cho hình 19 trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:...

  • Bài 85 trang 53 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 85 trang 53 sách bài tập toán 7. Cho bốn điểm A, B, C, D như hình dưới. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất.

  • Bài 84 trang 52 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 84 trang 52 sách bài tập toán 7. Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm.

  • Bài 83 trang 52 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 83 trang 52 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Chứng minh rằng: HB < HC,...

  • Bài 82 trang 52 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 82 trang 52 sách bài tập toán 7. Cho Tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. a) Hãy so sánh các góc AMB và ANC. b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN.

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài